Exercício 15. (D.K. ex. 14.22) Seja
uma função localmente integrável em
para a qual existe
e
com
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda função
localmente integrável em
que cresce no máximo como um polinômio de grau
, isto é, satisfaz
gera uma forma linear contínua sobre o espaço de Schwartz
. Em outras palavras, precisamos provar que
é um funcional linear e contínuo em
, o que significa exatamente que
.
Passo 2
Definimos o funcional
por
Como
é localmente integrável e
é suave e decai rapidamente, o produto
é integrável em
, garantindo que
esteja bem definido.
Passo 3
Para provar continuidade, usamos uma das seminormas de Schwartz dadas por
Escolhemos um inteiro
m estritamente maior que
N+n . Então, para todo
x ,
Passo 4
Usando a condição de crescimento de
u e o decaimento de
varphi , estimamos
Como
m>N+n , o expoente de
(1+|x|) no denominador satisfaz
(N-m)<-n , e portanto
Passo 5
Concluímos que existe uma constante
C' tal que
Isso mostra que
T é contínuo (pois é limitada por uma das seminormas de Schwartz) e linear. Logo,
TinS'(R^n) .
Resposta
Mostramos que a aplicação
varphimapstointegral u,varphi é um funcional linear contínuo em
S(R^n) , logo
uinS'(R^n) .