Exercício 15. (D.K. ex. 14.22) Seja u uma função localmente integrável em R^n para a qual existe N in N0 e C>0 com |u(x)| <= C(1+|x|)^N. Prove que u in S^prime(R^n).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda função u localmente integrável em R^n que cresce no máximo como um polinômio de grau N, isto é, satisfaz
|u(x)| <= C,(1+|x|)^N,
gera uma forma linear contínua sobre o espaço de Schwartz S(R^n). Em outras palavras, precisamos provar que
varphi ;longmapsto; integralR^nu(x),varphi(x),dx
é um funcional linear e contínuo em S(R^n), o que significa exatamente que uinS'(R^n).

Passo 2

Definimos o funcional TcolonS(R^n)toC por
T(varphi)=integralR^nu(x),varphi(x),dx
Como u é localmente integrável e varphi é suave e decai rapidamente, o produto u,varphi é integrável em R^n, garantindo que T(varphi) esteja bem definido.

Passo 3

Para provar continuidade, usamos uma das seminormas de Schwartz dadas por
pm(varphi)=supxinR^nl(1+|x|r)^ml|varphi(x)r|
Escolhemos um inteiro m estritamente maior que N+n. Então, para todo x,
|varphi(x)| <= pm(varphi)(1+|x|)^m

Passo 4

Usando a condição de crescimento de u e o decaimento de varphi, estimamos
l|T(varphi)r| <= integralR^n |u(x)|,|varphi(x)|,dx <= C,pm(varphi),integralR^n(1+|x|)^N(1+|x|)^m,dx
Como m>N+n, o expoente de (1+|x|) no denominador satisfaz (N-m)<-n, e portanto
integralR^n(1+|x|)^N-m,dx<infty

Passo 5

Concluímos que existe uma constante C' tal que
l|T(varphi)r|<= C',pm(varphi) para todo (varphiinS(R^n))
Isso mostra que T é contínuo (pois é limitada por uma das seminormas de Schwartz) e linear. Logo, TinS'(R^n).

Resposta

Mostramos que a aplicação varphimapstointegral u,varphi é um funcional linear contínuo em S(R^n), logo uinS'(R^n).

Exercícios relacionados