cujas entradas dependem da variável real . Calcule , e em seguida .
b) Defina , como a matriz obtida de substituindo as entradas da linha pelas suas derivadas; isto é,
Calcule a soma (\operatorname{det}\left(D_{1}(x)\right)+\operatorname{det}\left(D_{2}(x)\right)+\operatorname{det}\left(D_{3}(x)\right)]. O que observa? Consegue conjecturar algum resultado geral?
Passo 1
O enunciado trata de uma matriz cujas entradas dependem de um parâmetro real . Conteúdo: cálculo de determinante de matriz simbólica e sua derivada em relação a ; em seguida, substituição sucessiva de cada coluna por sua derivada e soma dos determinantes resultantes.
Passo 2
Vamos calcular para
Usando a regra de Sarrus ou a fórmula geral de determinante de 3times3, obtemos
Definimos Dk(x) como a matriz obtida de A(x) substituindo a k-ésima coluna pelas derivadas das suas entradas.
Para k=1, a coluna 1 de A é l(2-x,0,1r)^T, cuja derivada é l(-1,0,0r)^T.
Logo
Esse resultado coincide exatamente com tfracddxdet(A(x)).
Passo 8
Observação: a soma det(D1)+det(D2)+det(D3) é igual a ddxdet(A(x)).
Conjectura geral: para qualquer matriz quadrada A(x) cujas entradas são diferenciáveis,
ddxdetl(A(x)r) =sumk=1^ndetl(A(x) com a (k)-ésima coluna substituída por suas derivadasr) éí
Resposta
a) det(A(x))=-x^3+9x^2-17x-17, ddxdet(A(x))=-3x^2+18x-17
b) det(D1)+det(D2)+det(D3)=-3x^2+18x-17, que coincide com ddxdet(A(x)).
Conjectura geral: ddxdet(A(x))=sumk=1^ndet(Dk(x)).