P 4.6. a) Seja
cujas entradas dependem da variável real . Calcule , e em seguida .
b) Defina , como a matriz obtida de substituindo as entradas da linha pelas suas derivadas; isto é,
Calcule a soma (\operatorname{det}\left(D_{1}(x)\right)+\operatorname{det}\left(D_{2}(x)\right)+\operatorname{det}\left(D_{3}(x)\right)]. O que observa? Consegue conjecturar algum resultado geral?

Passo 1

O enunciado trata de uma matriz 3times3 cujas entradas dependem de um parâmetro real x.
Conteúdo: cálculo de determinante de matriz simbólica e sua derivada em relação a x; em seguida, substituição sucessiva de cada coluna por sua derivada e soma dos determinantes resultantes.

Passo 2

Vamos calcular det(A(x)) para
A(x)= 2 - x & 3 & 4 0 & 4 - x & -5 1 & -1 & 3 - x
Usando a regra de Sarrus ou a fórmula geral de determinante de 3times3, obtemos
det(A(x)) =(2-x)(4-x)(3-x)+3cdot(-5)cdot1+4cdot0cdot(-1) -l[4(4-x)cdot1+(2-x)(-5)(-1)+3cdot0cdot(3-x)r]
Calculando passo a passo leva a
det(A(x))=-x^3+9x^2-17x-17

Passo 3

Derivando termo a termo em relação a x, temos
ddxdet(A(x))=-3x^2+18x-17

Passo 4

Definimos Dk(x) como a matriz obtida de A(x) substituindo a k-ésima coluna pelas derivadas das suas entradas.
Para k=1, a coluna 1 de A é l(2-x,0,1r)^T, cuja derivada é l(-1,0,0r)^T.
Logo
D1(x) = -1 & 3 & 4 0 & 4-x & -5 0 & -1 & 3-x ,
e
detl(D1(x)r) =-1l[(4-x)(3-x)-(-5)(-1)r] =-x^2+7x-7

Passo 5

Para k=2, a coluna 2 de A é l(3,4-x,-1r)^T e sua derivada é l(0,-1,0r)^T.
D2(x) = 2-x & 0 & 4 0 & -1 & -5 1 & 0 & 3-x ,
detl(D2(x)r) =-x^2+5x-2

Passo 6

Para k=3, a coluna 3 de A é l(4,-5,3-xr)^T e sua derivada é l(0,0,-1r)^T.
D3(x) = 2-x & 3 & 0 0 & 4-x & 0 1 & -1 & -1 ,
detl(D3(x)r) =-(2-x)(4-x) =-x^2+6x-8

Passo 7

Somando os três determinantes:
det(D1)+det(D2)+det(D3) =l(-x^2+7x-7r)+l(-x^2+5x-2r)+l(-x^2+6x-8r) =-3x^2+18x-17
Esse resultado coincide exatamente com tfracddxdet(A(x)).

Passo 8

Observação: a soma det(D1)+det(D2)+det(D3) é igual a ddxdet(A(x)).
Conjectura geral: para qualquer matriz quadrada A(x) cujas entradas são diferenciáveis,
ddxdetl(A(x)r) =sumk=1^ndetl(A(x) com a (k)-ésima coluna substituída por suas derivadasr) éí

Resposta

a) det(A(x))=-x^3+9x^2-17x-17, ddxdet(A(x))=-3x^2+18x-17
b) det(D1)+det(D2)+det(D3)=-3x^2+18x-17, que coincide com ddxdet(A(x)).
Conjectura geral: ddxdet(A(x))=sumk=1^ndet(Dk(x)).

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