Seja T: U V uma transformação linear. Mostre que:
T é um isomorfismo Rightarrow dim U=dim V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se
;T:Uto V
é um isomorfismo (isto é, uma transformação linear bijetora), então
dim U ;=;dim V
O conteúdo envolvido é Algebra Linear, mais precisamente o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imagens), que afirma
dim U ;=;dimker T;+;dimimT

Passo 2

Como T é um isomorfismo, ela é injetora e sobrejetora.
  1. Injetora implies ker T=0.
  2. Sobrejetora implies imT=V.

Passo 3

Da injetividade segue
dimker T ;=;0,
e da sobrejetividade segue
dimimT ;=;dim V

Passo 4

Aplicando o Teorema Núcleo-Imagens, temos
dim U ;=;dimker T ;+;dimimT ;=;0;+;dim V ;=;dim V

Resposta

dim U=dim V.

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