Se
é uma transformação linear, conclua que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dada uma transformação linear
, temos
O conteúdo aqui é teoria de dimensão em espaços vetoriais: usamos a definição de dimensão como tamanho de base e a propriedade de que transformações lineares preservam combinações lineares.
Passo 2
Seja
Pela definição de dimensão, existe uma base
de
, ou seja, todos os vetores de
podem ser escritos unicamente como combinação linear desses
.
Passo 3
Como cada
pertence à imagem de
, para cada
existe um vetor
tal que
Portanto, temos
vetores
em
.
Passo 4
Vamos mostrar que
é um conjunto linearmente independente em
. Suponha
para escalares
. Aplicando
dos dois lados,
Mas
é base de
, logo é linearmente independente, o que força
. Assim,
é independente.
Passo 5
Como
é um conjunto de
vetores linearmente independentes em
, segue da definição de dimensão que