Se T: U V é uma transformação linear, conclua que dim Im(T) <= dim U.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dada uma transformação linear T: U to V, temos
diml(Im(T)r) <= dim(U)
O conteúdo aqui é teoria de dimensão em espaços vetoriais: usamos a definição de dimensão como tamanho de base e a propriedade de que transformações lineares preservam combinações lineares.

Passo 2

Seja
r = diml(Im(T)r)
Pela definição de dimensão, existe uma base v1,dots,vr de Im(T), ou seja, todos os vetores de Im(T) podem ser escritos unicamente como combinação linear desses vi.

Passo 3

Como cada vi pertence à imagem de T, para cada i=1,dots,r existe um vetor uiin U tal que
T(ui) = vi
Portanto, temos r vetores u1,dots,ur em U.

Passo 4

Vamos mostrar que u1,dots,ur é um conjunto linearmente independente em U. Suponha
a1u1 + a2u2 + cdots + arur = 0U
para escalares a1,dots,ar. Aplicando T dos dois lados,
T(a1u1 + cdots + arur) = a1T(u1) + cdots + arT(ur) = a1v1 + cdots + arvr = T(0U)=0V
Mas v1,dots,vr é base de Im(T), logo é linearmente independente, o que força a1=cdots=ar=0. Assim, u1,dots,ur é independente.

Passo 5

Como u1,dots,ur é um conjunto de r vetores linearmente independentes em U, segue da definição de dimensão que
r <= dim(U)

Resposta

diml(Im(T)r) <= dim(U)

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