Esboce a região
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A
1.1A
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região
determinar sua fronteira e depois classificar
quanto a ser aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) e/ou conexo (C). Para isso vamos usar álgebra elementar de inequações e conceitos de topologia básica em
.
Passo 2
Reescrevendo a condição
ficamos com
Isto significa que cada ponto de
está estritamente “mais próximo” do eixo
do que do eixo
. Geometricamente é a região interior dos dois cones abertos formados pelas retas
isto é, a região entre essas duas retas, tanto acima do eixo
quanto abaixo, sem incluir as retas.
Passo 3
A fronteira de uma região definida por
é dado por
. Aqui
tem fronteira em
Logo
Passo 4
Vamos aos conceitos:
. Aberto (A)?
Como a desigualdade é estrita ( ), toda vizinhança pequena de um ponto de
ainda satisfaz
. Logo
é aberto.
. Fechado (F)?
Não contém sua fronteira (as retas não estão em
), logo não é fechado.
. Limitado (L)?
O conjunto estende-se indefinidamente para cima e para baixo, não é contido em nenhum círculo de raio finito. Portanto não é limitado.
. Compacto (K)?
Em , compacto equivale a fechado e limitado; como falha em ambos, não é compacto.
. Conexo (C)?
separa-se em duas partes: uma com
e outra com
, que não se tocam. Logo
é desconexo e não é conexo.
Como a desigualdade é estrita (
Não contém sua fronteira (as retas
O conjunto estende-se indefinidamente para cima e para baixo, não é contido em nenhum círculo de raio finito. Portanto não é limitado.
Em
Resposta
Fronteira:
Classificação de
:
Aberto (A); não Fechado ( ); não Limitado (
); não Compacto (
); não Conexo (
).
Aberto (A); não Fechado (