Esboce a região mathcalR do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A
R=(x, y) in R^2 ; x^2<y^2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
R=(x,y)inR^2;;x^2<y^2,
determinar sua fronteira e depois classificar R quanto a ser aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) e/ou conexo (C). Para isso vamos usar álgebra elementar de inequações e conceitos de topologia básica em R^2.

Passo 2

Reescrevendo a condição
x^2<y^2
ficamos com
|x|<|y|
Isto significa que cada ponto de R está estritamente “mais próximo” do eixo y do que do eixo x. Geometricamente é a região interior dos dois cones abertos formados pelas retas
y=x e y=-x,
isto é, a região entre essas duas retas, tanto acima do eixo x quanto abaixo, sem incluir as retas.

Passo 3

A fronteira de uma região definida por f(x,y)<0 é dado por f(x,y)=0. Aqui
x^2-y^2<0
tem fronteira em
x^2-y^2=0 Longrightarrow y^2=x^2 Longrightarrow y=x;ou;y=-x
Logo
partial R =(x,y)inR^2; y=x,cup,(x,y)inR^2; y=-x

Passo 4

Vamos aos conceitos:
1. Aberto (A)?
Como a desigualdade é estrita ( x^2<y^2), toda vizinhança pequena de um ponto de R ainda satisfaz x^2<y^2. Logo R é aberto.
2. Fechado (F)?
Não contém sua fronteira (as retas y=pm x não estão em R), logo não é fechado.
3. Limitado (L)?
O conjunto estende-se indefinidamente para cima e para baixo, não é contido em nenhum círculo de raio finito. Portanto não é limitado.
4. Compacto (K)?
Em R^2, compacto equivale a fechado e limitado; como falha em ambos, não é compacto.
5. Conexo (C)?
R separa-se em duas partes: uma com y>|x| e outra com y< -|x|, que não se tocam. Logo R é desconexo e não é conexo.

Resposta

Fronteira:
partial R =(x,y)mid y=x,cup,(x,y)mid y=-x
Classificação de R:
Aberto (A); não Fechado ( neg F); não Limitado ( neg L); não Compacto ( neg K); não Conexo ( neg C).

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