Exercício 15. (Apostol, capítulo 9.13, exercício 25) Verifique que a função f(x, y, z)=x^4+y^4+z^4-4 x y z tem um ponto crítico em ( 1,1,1 ). Calcule os autovalores da Hessiana de f e determine se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou nenhum dos dois.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=x^4+y^4+z^4-4,x,y,z
e pede: verificar que (1,1,1) é ponto crítico, calcular os autovalores da Hessiana em (1,1,1) e classificar o ponto (máximo, mínimo ou nenhum). Vamos usar definição de pontos críticos ( nabla f=0) e teste pelo sinal dos autovalores da Hessiana.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f componente a componente:
partial fpartial x=4,x^3-4,y,z, partial fpartial y=4,y^3-4,x,z, partial fpartial z=4,z^3-4,x,y

Passo 3

Avaliando em (1,1,1) temos
partial fpartial x(1,1,1)=4-4=0, partial fpartial y(1,1,1)=4-4=0, partial fpartial z(1,1,1)=4-4=0,
logo nabla f(1,1,1)=0 e (1,1,1) é ponto crítico.

Passo 4

A Hessiana H de f é a matriz das segundas derivadas:
H(x,y,z)= 12,x^2 & -4,z & -4,y [6pt] -4,z & 12,y^2 & -4,x [6pt] -4,y & -4,x & 12,z^2 ]

Passo 5

Em (1,1,1) isso vira
H(1,1,1)= 12 & -4 & -4 [4pt] -4 & 12 & -4 [4pt] -4 & -4 & 12 =4, 3 & -1 & -1 [4pt] -1 & 3 & -1 [4pt] -1 & -1 & 3 ]

Passo 6

Para achar os autovalores da matriz
M=3&-1&-1-1&3&-1-1&-1&3
note que M tem
  • vetor próprio (1,1,1) com autovalor
    ;3-1-1=1,
  • os outros dois autovalores iguais a
    trM -12=9-12=4.
    Alternativamente, M=4I-J com J matriz de uns, dando autovalores 4-3=1 e 4-0=4 (multiplicidade 2).

Passo 7

Como H(1,1,1)=4M, os autovalores de H são
lambda1=4cdot1=4, lambda2=lambda3=4cdot4=16

Passo 8

Todos os autovalores de H(1,1,1) são positivos, logo a Hessiana é definida positiva em (1,1,1). Por consequência, esse ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

Os autovalores da Hessiana em (1,1,1) são 4,16,16 e, como todos são positivos, o ponto crítico é um mínimo local.

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