Exercício 15. (Apostol, capítulo 9.13, exercício 25) Verifique que a função tem um ponto crítico em ( ). Calcule os autovalores da Hessiana de e determine se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou nenhum dos dois.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede: verificar que é ponto crítico, calcular os autovalores da Hessiana em e classificar o ponto (máximo, mínimo ou nenhum). Vamos usar definição de pontos críticos () e teste pelo sinal dos autovalores da Hessiana.
Passo 2
Calculamos o gradiente de componente a componente:
Para achar os autovalores da matriz M=3&-1&-1-1&3&-1-1&-1&3
note que M tem
vetor próprio (1,1,1) com autovalor ;3-1-1=1,
os outros dois autovalores iguais a trM -12=9-12=4.
Alternativamente, M=4I-J com J matriz de uns, dando autovalores 4-3=1 e 4-0=4 (multiplicidade 2).
Passo 7
Como H(1,1,1)=4M, os autovalores de H são
lambda1=4cdot1=4, lambda2=lambda3=4cdot4=16
Passo 8
Todos os autovalores de H(1,1,1) são positivos, logo a Hessiana é definida positiva em (1,1,1). Por consequência, esse ponto crítico é um mínimo local.
Resposta
Os autovalores da Hessiana em (1,1,1) são 4,16,16 e, como todos são positivos, o ponto crítico é um mínimo local.