Problema 37 Resolva, em Re, a equação raiz[3]x+49-raiz[3]x-49=2, para x real.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
raiz[3]x+49-raiz[3]x-49=2
O conteúdo principal é manipular raízes cúbicas e usar a identidade da diferença de cubos.

Passo 2

Definimos
a = raiz[3]x+49, b = raiz[3]x-49
Então a equação original vira
a - b = 2

Passo 3

Como a^3 = x+49 e b^3 = x-49, subtraindo temos
a^3 - b^3 = (x+49) - (x-49) = 98
Pela identidade da diferença de cubos,
a^3 - b^3 = (a-b),(a^2 + ab + b^2),
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2,(a^2 + ab + b^2) = 98 Longrightarrow a^2 + ab + b^2 = 49

Passo 4

Da relação a - b = 2 vem b = a - 2. Substituindo em a^2 + ab + b^2 = 49,
a^2 + a(a-2) + (a-2)^2 = 49
Expandindo:
a^2 + a^2 - 2a + a^2 - 4a + 4 = 49 Longrightarrow 3a^2 - 6a + 4 = 49 Longrightarrow 3a^2 - 6a - 45 = 0
Dividindo por 3,
a^2 - 2a - 15 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática
a = 2 pm raiz4 + 602 = 2 pm 82,
obtemos
a = 5 ou a = -3

Passo 6

Para cada valor de a, achamos x por x+49=a^3:
  • Se a=5, então a^3=125 e x = 125 - 49 = 76.
  • Se a=-3, então a^3=-27 e x = -27 - 49 = -76.

Passo 7

Verificamos na equação original:
  • Para x=76: raiz[3]76+49-raiz[3]76-49=5-3=2.
  • Para x=-76: raiz[3]-76+49-raiz[3]-76-49=-3-(-5)=2.
    Ambos satisfazem a equação.

Resposta

As soluções em R são x=76 e x=-76.

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