Exercício 15. (Apostol, capítulo 8.14, exercício 9) Seja f: R^n R uma função diferenciável. Suponha que partial fpartial v1(x)=0, para n vetores L.I. v1, ldots, vn e para todo x in R^n. Mostre que f é uma função constante.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função diferenciável
fcolon R^n to R
e n vetores linearmente independentes v1,dots,vn tais que, para todo xinR^n, a derivada direcional de f em cada vi é zero:
partial fpartial vi(x)=0, i=1,dots,n
O conteúdo principal envolve a relação entre derivada direcional, diferencial (jacobiano/gradiente) e linearidade, e o fato de que R^n é conexo, o que garantirá que f seja constante se sua derivada total for a aplicação zero.

Passo 2

Lembrando que, como f é diferenciável, sua diferencial em x, denotada Df(x), é uma aplicação linear
Df(x)colon R^n to R
que satisfaz
partial fpartial v(x)=Df(x)(v)
para toda direção v. Em particular,
Df(x)(vi)=partial fpartial vi(x)=0,
para i=1,dots,n.

Passo 3

Como os vetores v1,dots,vn são linearmente independentes em R^n, eles formam uma base do espaço. Uma aplicação linear que anula todos os vetores de uma base deve ser a aplicação zero. Logo, para cada x,
Df(x)(v)=0
para todo vinR^n, pois qualquer v pode ser escrito como combinação linear dos vis e a linearidade de Df(x) leva tudo a zero.

Passo 4

Portanto, Df(x) é a aplicação zero em cada ponto x. Isso significa que todas as derivadas parciais usuais de f são zero em todo ponto, ou seja, o gradiente de f é o vetor zero em cada x. Como R^n é um domínio convexo (logo conexo), o teorema fundamental do cálculo vetorial garante que f é constante ao longo de quaisquer caminhos, e portanto constante em todo o domínio.

Resposta

A função f é constante em R^n.

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