Exercício 15. (Apostol, capítulo 8.14, exercício 9) Seja
uma função diferenciável. Suponha que
, para
vetores L.I.
e para todo
. Mostre que
é uma função constante.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função diferenciável
e n vetores linearmente independentes
tais que, para todo
, a derivada direcional de
em cada
é zero:
O conteúdo principal envolve a relação entre derivada direcional, diferencial (jacobiano/gradiente) e linearidade, e o fato de que
é conexo, o que garantirá que
seja constante se sua derivada total for a aplicação zero.
Passo 2
Lembrando que, como
é diferenciável, sua diferencial em
, denotada
, é uma aplicação linear
que satisfaz
para toda direção
. Em particular,
para
.
Passo 3
Como os vetores
são linearmente independentes em
, eles formam uma base do espaço. Uma aplicação linear que anula todos os vetores de uma base deve ser a aplicação zero. Logo, para cada
,
para todo
, pois qualquer
pode ser escrito como combinação linear dos
s e a linearidade de
leva tudo a zero.
Passo 4
Portanto,
é a aplicação zero em cada ponto
. Isso significa que todas as derivadas parciais usuais de
são zero em todo ponto, ou seja, o gradiente de
é o vetor zero em cada
. Como
é um domínio convexo (logo conexo), o teorema fundamental do cálculo vetorial garante que
é constante ao longo de quaisquer caminhos, e portanto constante em todo o domínio.
Resposta
A função
é constante em
.