Exercício 16. (Apostol, capítulo 8.14, exercício 10) Seja
uma função diferenciável na bola de raio
e centro
. Mostre que se
para todo
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que
é diferenciável e satisfaz
O conteúdo que vamos usar é a derivada direcional (regra da cadeia) para reduzir a um problema unidimensional, depois mostrar que
é ponto de mínimo e, por fim, aplicar o teorema de Fermat (se
tem extremo em
, então
).
Passo 2
Fixe
e defina
Pela regra da cadeia, para cada
temos
Passo 3
Como
em
, a função
é estritamente crescente em
. Em particular,
ou seja,
para todo
. Isso mostra que
é ponto de mínimo global de
.
Passo 4
Pelo teorema de Fermat, se
é diferenciável em
e
é ponto de mínimo, então