Exercício 16. (Apostol, capítulo 8.14, exercício 10) Seja f: Br(a) subset R^n R uma função diferenciável na bola de raio r e centro a. Mostre que se nabla f(x)>0 para todo x neq a, então nabla f(a)=0.

Passo 1

O enunciado diz que f: Br(a)subsetR^ntoR é diferenciável e satisfaz
nabla f(x)cdot(x-a)>0 para todo xneq a
O conteúdo que vamos usar é a derivada direcional (regra da cadeia) para reduzir a um problema unidimensional, depois mostrar que a é ponto de mínimo e, por fim, aplicar o teorema de Fermat (se f tem extremo em a, então nabla f(a)=0).

Passo 2

Fixe xneq a e defina
g(t)=fl(a+t(x-a)r), tin[0,1]
Pela regra da cadeia, para cada tin(0,1) temos
g'(t) =Dfl(a+t(x-a)r)l(x-ar) =nabla fl(a+t(x-a)r)cdot(x-a) >0

Passo 3

Como g'(t)>0 em (0,1), a função g é estritamente crescente em [0,1]. Em particular,
f(x)=g(1)>g(0)=f(a),
ou seja, f(x)>f(a) para todo xneq a. Isso mostra que a é ponto de mínimo global de f.

Passo 4

Pelo teorema de Fermat, se f é diferenciável em a e a é ponto de mínimo, então
nabla f(a)=0

Resposta

nabla f(a)=0.

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