Exercício 15. (Apostol, capítulo 7.4, exercício 11) Seja D in Mn(C) uma matriz diagonal: D=diag(lambda1, ldots, lambdan). Mostre que se sumk=0^infty ck D^k converge, então
sumk=0^infty ck D^k=diag(sumk=0^infty ck lambda1^k, ldots, sumk=0^infty ck lambdan^k)

Passo 1

O enunciado dá uma matriz diagonal D=diag(lambda1,dots,lambdan) e uma série de matrizes
sumk=0^inftyckD^k
que converge. O que precisamos usar é que
  1. A potência de uma matriz diagonal é a diagonal das potências dos seus elementos.
  2. Uma série de matrizes converge se, e somente se, cada uma das suas entradas converge como série numérica.

Passo 2

Mostramos que para todo k>=0 vale
D^k =diagl(lambda1^k,dots,lambdan^kr)
Isso pode ser feito por indução em k ou observando que a multiplicação de duas matrizes diagonais resulta na diagonal dos produtos correspondentes.

Passo 3

A entrada
Logo, a entrada é
onde é o delta de Kronecker. Convergência da série de matrizes implica convergência de cada série numérica .

Passo 4

Como só as entradas diagonais são não nulas, podemos escrever
sumk=0^inftyckD^k =diagl(sumk=0^inftycklambda1^k,dots,sumk=0^inftycklambdan^kr)

Resposta

sumk=0^inftyckD^k =diagl(sumk=0^inftycklambda1^k,dots,sumk=0^inftycklambdan^kr)

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