Exercício 15. (Apostol, capítulo 7.4, exercício 11) Seja
uma matriz diagonal:
. Mostre que se
converge, então
Passo 1
O enunciado dá uma matriz diagonal
e uma série de matrizes
que converge. O que precisamos usar é que
- A potência de uma matriz diagonal é a diagonal das potências dos seus elementos.
- Uma série de matrizes converge se, e somente se, cada uma das suas entradas converge como série numérica.
Passo 2
Mostramos que para todo
vale
Isso pode ser feito por indução em
ou observando que a multiplicação de duas matrizes diagonais resulta na diagonal dos produtos correspondentes.
Passo 3
A entrada
Logo, a entrada é
onde
é o delta de Kronecker. Convergência da série de matrizes implica convergência de cada série numérica
.
Passo 4
Como só as entradas diagonais são não nulas, podemos escrever