Questão 6 Disserte sobre os teoremas de Grobman-Hartman, Poincaré-Bendixson e Peixoto indicando uma aplicação para cada um deles.

Passo 1

O enunciado pede para discutirmos três teoremas centrais em sistemas dinâmicos de baixa dimensão: o Teorema de Grobman–Hartman, o Teorema de Poincaré–Bendixson e o Teorema de Peixoto. Eles tratam, respectivamente, de: (i) conjugação topológica entre sistema não-linear e seu linearizado em torno de pontos de equilíbrio hiperbólicos, (ii) caracterização de órbitas limite em sistemas planos e (iii) classificação dos campos de vetor estruturalmente estáveis em superfícies compactas de dimensão dois. Para cada um deles, vamos apresentar enunciado essencial, condições de aplicação, ideia da prova e um exemplo de aplicação prática.

Passo 2

O Teorema de Grobman–Hartman diz que, se em R^n temos um ponto de equilíbrio x^* para
dot x = f(x),
com f de classe C^1 e a matriz jacobiana Df(x^*) não tendo autovalores de parte real zero (equilíbrio hiperbólico), então existe um homeomorfismo local h que leva as órbitas do sistema não-linear às órbitas do sistema linearizado
dot y = Df(x^*),y
Isto significa que, qualitativamente, perto de x^* o comportamento não-linear é “igualzinho”, em topologia, ao do sistema linear.
Aplicação: no estudo local de um ponto de sela ou de foco num modelo de controle automático, podemos analisar apenas o sistema linearizado para entender se a malha é estável, oscilatória ou de sela, sem resolver exatamente o não-linear.

Passo 3

O Teorema de Poincaré–Bendixson vale em R^2. Ele afirma que uma solução de um campo de vetores contínuo, cuja órbita é confinada num subconjunto compacto sem equilíbrios internos, só pode ter como conjunto limite uma órbita periódica. Em outras palavras, em dois dimensões não surgem atratores estranhos: se a trajetória não converge a um ponto fixo, ela se aproxima de um ciclo limite.
Aplicação: ao modelar a dinâmica predador-presa (por exemplo, equações de Lotka–Volterra modificadas), o teorema garante que populações oscilatórias passarão a rodar em torno de um ciclo – isto é, entender que existe um ciclo estável que representa oscilações de longo prazo entre presas e predadores.

Passo 4

O Teorema de Peixoto é uma versão global do conceito de estabilidade estrutural em superfícies bidimensionais compactas (por exemplo, a esfera ou o toro). Ele afirma que, num campo de vetores de classe C^1 definido numa superfície compacta sem fronteira, ser estruturalmente estável (isto é, pequenas perturbações não mudam qualitativamente o diagrama de fases) é equivalente a satisfazer:
  1. Ter apenas um número finito de pontos de equilíbrio e órbitas periódicas, todos hiperbólicos.
  2. Não existir conexões heteroclinas ou homoclinas de pontos-sela.
    Além disso, o conjunto desses campos de vetores estruturais estáveis é aberto e denso no espaço de todos os campos de vetores C^1.
    Aplicação: na esfera, ao projetar linhas de corrente num escoamento atmosférico simplificado, podemos garantir que, após pequenas perturbações nas condições iniciais, a topologia das zonas de convergência (centros) e divergência (selas) permanece inalterada, o que é fundamental em previsões climáticas de longa escala.

Resposta

Apresentamos os três teoremas e demos uma aplicação para cada um:
– Grobman–Hartman: linearização topológica em torno de equilíbrios hiperbólicos, aplicada à estabilidade local em malhas de controle.
– Poincaré–Bendixson: existência de ciclos limites em sistemas planos sem pontos-fixos no interior de órbitas compactas, aplicada à modelagem predador-presa.
– Peixoto: classificação de campos estruturalmente estáveis em superfícies compactas, aplicada à robustez topológica de linhas de corrente atmosféricas.

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