Exercício 15. (Apostol seção 12.21 exercício 12) Seja G: V R^3 um campo vetorial diferenciável e duas funções f, g: V R num aberto V limitado por uma superfície limitada S. Seja n a normal que aponta para fora de S.
Prove que existe no máximo um campo vetorial tal que
nabla times F=G, nabla F=g em V, F n=f em S

Passo 1

Suponha que existam dois campos vetoriais F1 e F2 em V tais que
nablatimes Fi=G, nablacdot Fi=gem V, Ficdot n=fem S, i=1,2
Defina
X = F1-F2
Então, usando a linearidade de divergente, rotacional e produto escalar, obtemos
nablatimes X = nablatimes F1-nablatimes F2 = G - G = 0,
nablacdot X = nablacdot F1-nablacdot F2 = g - g = 0,
Xcdot n = F1cdot n - F2cdot n = f - f = 0

Passo 2

Como V é um domínio simplesmente conexo (é limitado por uma superfície fechada S), de nablatimes X=0 segue, pelo lema de Poincaré, que existe uma função escalar phicolon VtoR tal que
X = nablaphiem V

Passo 3

Da condição nablacdot X=0 segue
nablacdot(nablaphi)=De<aphi=0em V,
ou seja, phi é harmônica. E da condição de contorno Xcdot n=0 em S obtemos
partialphipartial n=0em S,
que é a condição de Neumann homogênea para phi.

Passo 4

Para mostrar que phi é constante, multiplique De<aphi=0 por phi e integre sobre V:
integralVphi,De<aphi,dV = 0
Aplicando integração por partes e usando partialphi/partial n=0 em S, temos
integralVphi,De<aphi,dV = integralSphipartialphipartial n,dS ;-;integralV|nablaphi|^2,dV = -integralV|nablaphi|^2,dV
Logo
integralV|nablaphi|^2,dV = 0 Longrightarrow nablaphi = 0 em V,
isto é, phi é constante.

Passo 5

Como X=nablaphi=0, segue F1-F2=0 em V, ou seja, F1=F2.

Resposta

Há no máximo um campo vetorial F que satisfaça
nablatimes F=G, nablacdot F=g em V e Fcdot n=f em S.

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