Exercício 15. (Apostol seção 12.21 exercício 12) Seja
um campo vetorial diferenciável e duas funções
num aberto
limitado por uma superfície limitada
. Seja
a normal que aponta para fora de
.
Prove que existe no máximo um campo vetorial tal que
Passo 1
Suponha que existam dois campos vetoriais
e
em
tais que
Defina
Então, usando a linearidade de divergente, rotacional e produto escalar, obtemos
Passo 2
Como
é um domínio simplesmente conexo (é limitado por uma superfície fechada
), de
segue, pelo lema de Poincaré, que existe uma função escalar
tal que
Passo 3
Da condição
segue
ou seja,
é harmônica. E da condição de contorno
em
obtemos
que é a condição de Neumann homogênea para
.
Passo 4
Para mostrar que
é constante, multiplique
por
e integre sobre
:
Aplicando integração por partes e usando
em
, temos
Logo
isto é,
é constante.
Passo 5
Como
, segue
em
, ou seja,
.
Resposta
Há no máximo um campo vetorial
que satisfaça
,
em
e
em
.