Use a expressão dada para a segunda derivada de uma função para localizar os pontos de inflexão, os intervalos em que o gráfico é côncavo para cima e os intervalos e que a concavidade é para baixo:
y^prime prime=(x+2)(x^2+4)

Passo 1

O enunciado nos dá a segunda derivada da função
y''=(x+2)(x^2+4)
e pede para localizar os pontos de inflexão (onde a concavidade muda) e os intervalos em que o gráfico é côncavo para cima ( y''>0) ou côncavo para baixo ( y''<0). Vamos primeiro achar onde y''=0 e depois analisar o sinal.

Passo 2

Para encontrar onde
y''=0
resolvemos
(x+2)(x^2+4)=0
Isso dá x+2=0 ou x^2+4=0. Como x^2+4=0 não tem solução real, a única raiz real é
x=-2

Passo 3

Agora fazemos o estudo de sinal de y''=(x+2)(x^2+4). Note que x^2+4>0 para todo x, então o sinal de y'' é o mesmo do fator x+2.
  • Se x<-2, então x+2<0 e portanto y''<0 (côncavo para baixo).
  • Se x>-2, então x+2>0 e portanto y''>0 (côncavo para cima).

Passo 4

O ponto onde y'' muda de sinal é x=-2, logo aí ocorre um ponto de inflexão.

Resposta

O gráfico é
  • côncavo para baixo em (-infty,-2),
  • côncavo para cima em (-2,+infty),
e tem ponto de inflexão em x=-2.

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