Use a expressão dada para a segunda derivada de uma função para localizar os pontos de inflexão, os intervalos em que o gráfico é côncavo para cima e os intervalos e que a concavidade é para baixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a segunda derivada da função
e pede para localizar os pontos de inflexão (onde a concavidade muda) e os intervalos em que o gráfico é côncavo para cima (
) ou côncavo para baixo (
). Vamos primeiro achar onde
e depois analisar o sinal.
Passo 2
Para encontrar onde
resolvemos
Isso dá
ou
. Como
não tem solução real, a única raiz real é
Passo 3
Agora fazemos o estudo de sinal de
. Note que
para todo
, então o sinal de
é o mesmo do fator
.
- Se
, então e portanto (côncavo para baixo). - Se
, então e portanto (côncavo para cima).
Passo 4
O ponto onde
muda de sinal é
, logo aí ocorre um ponto de inflexão.
Resposta
O gráfico é
- côncavo para baixo em
, - côncavo para cima em
,
e tem ponto de inflexão em
.