Exercício 15. (Apostol seção 13.14 exercício 11) Sejam
e
eventos independentes. Prove ou mostre que não vale que:
e
são independentes.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são eventos independentes, ou seja,
Queremos examinar a afirmação “
e
são independentes” e mostrar que ela não não vale, isto é, na verdade vale que
e
são independentes.
Passo 2
Usamos a relação de probabilidade de união complementar:
Como
e
são independentes, substituímos
. Logo
Passo 3
Reconhecendo que
, obtemos
que é exatamente a condição de independência entre
e
.
Resposta
A afirmação “não vale que
e
são independentes” está incorreta: de fato, sempre que
e
são independentes, também
e
são independentes.