Exercício 15. (Apostol seção 13.14 exercício 11) Sejam A e B eventos independentes. Prove ou mostre que não vale que:
A^c e B são independentes.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são eventos independentes, ou seja,
P(Acap B)=P(A),P(B)
Queremos examinar a afirmação “ A^c e B são independentes” e mostrar que ela não não vale, isto é, na verdade vale que A^c e B são independentes.

Passo 2

Usamos a relação de probabilidade de união complementar:
P(A^ccap B)=Pl(Bsetminus Ar) =P(B)-P(Acap B)
Como A e B são independentes, substituímos P(Acap B)=P(A)P(B). Logo
P(A^ccap B) =P(B)-P(A)P(B) =l(1-P(A)r),P(B)

Passo 3

Reconhecendo que 1-P(A)=P(A^c), obtemos
P(A^ccap B)=P(A^c),P(B),
que é exatamente a condição de independência entre A^c e B.

Resposta

A afirmação “não vale que A^c e B são independentes” está incorreta: de fato, sempre que A e B são independentes, também A^c e B são independentes.

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