Exercício 15. (Apostol seção 13.14 exercício 11) Sejam
e
eventos independentes. Prove ou mostre que não vale que:
e
são independentes.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são dois eventos independentes (
). Queremos ver se disso segue que os eventos
também são independentes, ou seja, se sempre vale
Para resolver isso, vamos usar propriedades de união, interseção e a definição de independência.
Passo 2
Observe que
Como
, a interseção de
com
é simplesmente
de novo. Logo,
Passo 3
A condição de independência de
e
seria
Substituindo
e
, temos
Se
, isso força
. Em geral
para eventos não triviais. Portanto, salvo casos degenerados (
ou
), não há independência.
Passo 4
Para ilustrar com um contraexemplo concreto, seja o espaço amostral equiprovável
, com
para
. Defina
Então
e
, de modo que
e
são independentes.
Passo 5
Nesse exemplo
Mas
Logo
e
não são independentes.
Resposta
Não vale em geral: mesmo com
e
independentes,
e
podem falhar a independência (veja o contraexemplo acima).