Exercício 15. (Apostol seção 13.14 exercício 11) Sejam A e B eventos independentes. Prove ou mostre que não vale que:
A cap B e A cup B são independentes.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são dois eventos independentes ( Pr(Acap B)=Pr(A)Pr(B)). Queremos ver se disso segue que os eventos
C = Acap B e D = Acup B
também são independentes, ou seja, se sempre vale
Pr(Ccap D);=;Pr(C),Pr(D)
Para resolver isso, vamos usar propriedades de união, interseção e a definição de independência.

Passo 2

Observe que
Ccap D =(Acap B)cap(Acup B)
Como Acap Bsubseteq Acup B, a interseção de C com D é simplesmente C de novo. Logo,
Pr(Ccap D) =Pr(Acap B)

Passo 3

A condição de independência de C e D seria
Pr(Ccap D) =Pr(C),Pr(D)
Substituindo Pr(Ccap D)=Pr(Acap B) e Pr(C)=Pr(Acap B), temos
Pr(Acap B) =Pr(Acap B),Pr(Acup B)
Se Pr(Acap B)>0, isso força Pr(Acup B)=1. Em geral Pr(Acup B)=Pr(A)+Pr(B)-Pr(Acap B)<1 para eventos não triviais. Portanto, salvo casos degenerados ( Pr(Acap B)=0 ou Pr(Acup B)=1), não há independência.

Passo 4

Para ilustrar com um contraexemplo concreto, seja o espaço amostral equiprovável
Omega=1,2,3,4, com Pr(i)=1/4 para i=1,2,3,4. Defina
A=1,2, B=1,3
Então Pr(A)=Pr(B)=1/2 e
Pr(Acap B)=Pr(1)=1/4, de modo que A e B são independentes.

Passo 5

Nesse exemplo
C=Acap B=1, D=Acup B=1,2,3,
Pr(C)=1/4, Pr(D)=3/4, Pr(Ccap D)=Pr(C)=1/4
Mas
Pr(C),Pr(D) =14cdot34 =316neq14 =Pr(Ccap D)
Logo C e D não são independentes.

Resposta

Não vale em geral: mesmo com A e B independentes, Acap B e Acup B podem falhar a independência (veja o contraexemplo acima).

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