Exercício 15. (Apostol seção 14.22 exercício 3) Seja e . Defina uma função da seguinte forma
a) Verifique que f é a densidade de uma distribuição contínua e determine F.
b) Determine as distribuições de dimensão um FX e FY obtidas de f.
c) Determine se X e Y são variáveis aleatórias independentes.
Passo 1
O enunciado define a densidade conjunta
f(x,y)= dfrac1(b-a)(d-c),&(x,y)in[a,b]times[c,d], 0,&caso contrário, á
com a<b e c<d. O conteúdo aqui é distribuição contínua em duas dimensões: primeiro verificamos que f é de fato uma densidade (isto é, não negativa e integra 1), depois determinamos a função de distribuição conjunta F(x,y), em seguida extraímos as marginais unidimensionais FX e FY, e por fim checamos independência.
Passo 2
Para ver que f é densidade, note que f(x,y)>=0 em todo o plano e
integral dupla R^2f(x,y),dx,dy =integral dupla[a,b]times[c,d]1(b-a)(d-c),dx,dy =1(b-a)(d-c),(b-a)(d-c) =1