Exercício 15. (Apostol seção 14.22 exercício 3) Seja a<b e c<d. Defina uma função f da seguinte forma
f(x, y)=c 1(b-a)(d-c),(x, y) in[a, b] times[c, d] 0, de outra forma
a) Verifique que f é a densidade de uma distribuição contínua e determine F.
b) Determine as distribuições de dimensão um FX e FY obtidas de f.
c) Determine se X e Y são variáveis aleatórias independentes.

Passo 1

O enunciado define a densidade conjunta
f(x,y)= dfrac1(b-a)(d-c),&(x,y)in[a,b]times[c,d], 0,&caso contrário, á
com a<b e c<d. O conteúdo aqui é distribuição contínua em duas dimensões: primeiro verificamos que f é de fato uma densidade (isto é, não negativa e integra 1), depois determinamos a função de distribuição conjunta F(x,y), em seguida extraímos as marginais unidimensionais FX e FY, e por fim checamos independência.

Passo 2

Para ver que f é densidade, note que f(x,y)>=0 em todo o plano e
integral dupla R^2f(x,y),dx,dy =integral dupla[a,b]times[c,d]1(b-a)(d-c),dx,dy =1(b-a)(d-c),(b-a)(d-c) =1

Passo 3

A função de distribuição conjunta é
F(x,y)=P(X<= x,Y<= y) =integralu=-infty^xintegralv=-infty^yf(u,v),dv,du
Como f só é não nula em [a,b]times[c,d], obtemos o seguinte resultado em pedaços:
  1. Se x<a ou y<c, então F(x,y)=0.
  2. Se x>= b e y>= d, então F(x,y)=1.
  3. Se a<= x<= b e c<= y<= d, então
F(x,y) =integralu=a^xintegralv=c^y1(b-a)(d-c),dv,du =(x-a)(y-c)(b-a)(d-c)
  1. Se x>= b mas c<= y<= d, então
F(x,y) =integralu=a^bintegralv=c^y1(b-a)(d-c),dv,du =(b-a)(y-c)(b-a)(d-c) =y-c,d-c,
  1. Se a<= x<= b mas y>= d, então
F(x,y) =integralu=a^xintegralv=c^d1(b-a)(d-c),dv,du =(x-a)(d-c)(b-a)(d-c) =x-a,b-a,

Passo 4

As distribuições marginais unidimensionais são
FX(x)=P(X<= x)=limytoinftyF(x,y) = 0,&x<a, x-a,b-a,,&a<= x<= b, 1,&x>b, FY(y)=P(Y<= y)= 0,&y<c, y-c,d-c,,&c<= y<= d, 1,&y>d

Passo 5

Para independência, note que a densidade marginal de
e de temos
concluímos que e são independentes.

Resposta

a)
b)
c) são independentes, pois .

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