Determine o conjunto solução das inequações abaixo:
c) |2 x+1| >= x+5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valor absoluto
|2x+1|>= x+5
Este problema envolve inequações com módulo. Vamos usar duas ideias principais:
1. Quando o lado direito x+5 for negativo, a desigualdade vale automaticamente porque |2x+1|>=0.
2. Quando x+5>=0, precisamos “abrir” o módulo em dois casos (quando 2x+1>=0 e quando 2x+1<0) e resolver as inequações resultantes.

Passo 2

Encontrar para quais x temos x+5<0.
x+5<0implies x<-5
Para qualquer x<-5, o lado direito é negativo e o módulo é sempre não-negativo. Logo
|2x+1|>= x+5
é verdadeiro para todo x<-5.

Passo 3

Agora consideramos o caso x+5>=0, isto é,
x>= -5
Neste intervalo, podemos abrir |2x+1| segundo o sinal de 2x+1.
Passo 3.1 (caso 2x+1>=0, ou seja x>= -tfrac12):
|2x+1|=2x+1
e a inequação fica
2x+1>= x+5Longrightarrow 2x - x >= 5-1Longrightarrow x>=4
Como estabalecemos x>= -5 e x>= -tfrac12, basta x>=4.
Passo 3.2 (caso 2x+1<0, ou seja x< -tfrac12):
|2x+1|=-(2x+1)=-2x-1
e a inequação fica
-2x-1>= x+5Longrightarrow -2x - x >= 5+1Longrightarrow -3x>=6Longrightarrow x<= -2
Além disso estamos neste subcaso com x>= -5 e x<-tfrac12, então a solução aqui é
-5<= x<= -2

Passo 4

Agora unimos todos os pedaços:
  • Para x<-5: toda x satisfaz a inequação.
  • Para -5<= x<-tfrac12: satisfaz se e somente se -5<= x<= -2.
  • Para x>= -tfrac12: satisfaz se e somente se x>=4.
Logo a solução completa é
(-infty,-2];cup;[4,infty)

Resposta

boxed(-infty,-2]cup[4,infty)

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