Verifique se as funções dadas abaixo são diferenciáveis na origem.
f(x, y)= x-yx+y & (x, y) neq(0,0) 0 & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
Queremos verificar se . Lembrando que a diferenciabilidade implica continuidade (e existência de derivadas parciais), vamos primeiro checar a continuidade em .]

Passo 2

Para testar a continuidade de f em (0,0), examinamos
o limite ao longo das retas y=mx. Substituindo em dfracx-yx+y (para (x,y)neq(0,0)) obtemos
f(x,mx)=x-mxx+mx=1-m1+m
Como esse valor depende de m, o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não é único. Logo, f não é contínua em (0,0).

Passo 3

Podemos também verificar diretamente uma derivada parcial, por exemplo em direção ao eixo x:
quando y=0 e xneq0, f(x,0)=1.
O quociente de diferença é
f(h,0)-f(0,0)h=1-0h=1h,
que não tem limite finito quando hto0. Portanto, nem mesmo as derivadas parciais existem em (0,0).

Passo 4

Como a diferenciabilidade em um ponto exige, no mínimo, que a função seja contínua e tenha derivadas parciais naquele ponto, e f falha em ambos os aspectos, concluímos que f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função não é diferenciável na origem.

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