Exercício 15. Calcular a distância entre as retas abaixo

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância entre duas retas em R^3. O conteúdo envolvido é: escrever cada reta em forma paramétrica, extrair um ponto em cada reta e seu vetor diretor, e usar a fórmula da distância entre retas (caso sejam não paralelas e possivelmente concorrentes ou reversas):
dist(r1,r2) =l|(B-A)cdot (v1times v2)r||v1times v2|,
onde Ain r1, v1 é a direção de r1, Bin r2, v2 é a direção de r2.

Passo 2

Transformando em forma paramétrica:
reta
logo .
reta : tomamos , então
logo ) e .

Passo 3

Calculamos o produto vetorial e o produto escalar:
v1 times v2 = i & j & k 1 & 1 & -2 1 & 3 & -4 =(2,2,2),
B - A = (0,1,0)-(1,2,-2)=(-1,-1,2),
(B-A)cdot(v1times v2) =(-1,-1,2)cdot(2,2,2)=-2-2+4=0

Passo 4

Aplicando a fórmula da distância:
dist(r1,r2) =l|(B-A)cdot(v1times v2)r||v1times v2| =|0|raiz2^2+2^2+2^2=0
Isso significa que as retas se intersectam (de fato em (0,1,0)).

Resposta

A distância entre r1 e r2 é 0.

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