A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
.
Passo 1
A integral dada é
. Esse é um exemplo de integral imprópria porque os limites de integração são infinitos. O conteúdo que vamos usar envolve definição de integrais impróprias, teste de convergência e simetria de funções (paridade).
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma integral com limites infinitos é imprópria e convergimos se os limites separados existirem finitos:
. Aqui
é contínua em todo
, então só precisamos ver esses limites.
Passo 3
Observando a paridade: para
temos
. Logo
é ímpar e, por teorema de paridade,
para todo
.
Ao levar , concluímos imediatamente que a integral impropriá é zero.
Ao levar
Passo 4
Para ver na prática, podemos calcular a primitiva de
usando
,
. Assim
Passo 5
Agora avaliamos cada parte:
Somando as duas partes dá zero.
Somando as duas partes dá zero.
Resposta
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