A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante: integral-infty^infty x(1+x^2)^2 d x.

Passo 1

A integral dada é integral-infty^infty x(1+x^2)^2,dx. Esse é um exemplo de integral imprópria porque os limites de integração são infinitos. O conteúdo que vamos usar envolve definição de integrais impróprias, teste de convergência e simetria de funções (paridade).

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma integral com limites infinitos é imprópria e convergimos se os limites separados existirem finitos:
integral-infty^infty f(x),dx = limato-infty integrala^0 f(x),dx + limbtoinfty integral0^b f(x),dx. Aqui f(x)=x(1+x^2)^2 é contínua em todo R, então só precisamos ver esses limites.

Passo 3

Observando a paridade: para f(x)=x(1+x^2)^2 temos
f(-x)=-x(1+(-x)^2)^2=-f(x). Logo f é ímpar e, por teorema de paridade,
integral-a^a f(x),dx=0 para todo a>0.
Ao levar atoinfty, concluímos imediatamente que a integral impropriá é zero.

Passo 4

Para ver na prática, podemos calcular a primitiva de f(x) usando u=1+x^2, du=2x,dx. Assim
integral x(1+x^2)^2,dx = 12 integral u^-2 ,du = -12u + C = -12(1+x^2) + C

Passo 5

Agora avaliamos cada parte:
integral0^infty x(1+x^2)^2,dx = limbtoinfty l[-12(1+x^2)r]0^b = 0 - l(-12r) = 12
integral-infty^0 x(1+x^2)^2,dx = limato-infty l[-12(1+x^2)r]a^0 = l(-12r) - 0 = -12
Somando as duas partes dá zero.

Resposta

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