Exercício 15. O conjunto amostral com 20 observações, apresentado abaixo, é referente à duas variáveis ( X e Y). Elabore um diagrama de dispersão, apresente os cálculos para SQDx, SQDy e SPDxy, determine o valor do coeficiente de correlação e interprete
## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13]
## Xi 92.9 68.1 110.5 87.8 81.3 98.1 100.3 87.4 105.5 104.3 78.9 87.5 78.1
## Yi 93.3 94.4 106.6 79.9 99.4 100.1 72.7 126.5 117.7 111.8 83.2 118.8 87.6
## [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
## Xi 99.2 121.3 100.4 90.4 108.1 82.1 119.9
## Yi 100.8 99.0 88.1 98.1 122.9 97.9 102.4
A resposta é: 0.2637172

Passo 1

O enunciado fornece n=20 pares de observações (Xi,Yi)i=1^20 e pede: (a) diagrama de dispersão, (b) cálculos de
SQDx=sumi=1^n (Xi-bar X)^2,
SQDy=sumi=1^n (Yi-bar Y)^2 e
SPDxy=sumi=1^n (Xi-bar X)(Yi-bar Y),
(c) coeficiente de correlação de Pearson e (d) interpretação. O conteúdo usado será estatística descritiva (médias, variância, covariância) e correlação.

Passo 2

Calculamos as médias de X e Y:
bar X=120sumi=1^20Xi=1902,120approx95,105,
bar Y=120sumi=1^20Yi=2001,220approx100,06
No diagrama de dispersão plota-se cada ponto (Xi,Yi) no plano cartesiano. Observa-se que, embora haja dispersão considerável, há uma leve tendência ascendente de Y conforme X cresce, indicando correlação positiva fraca.

Passo 3

Calculamos as somas de quadrados das distâncias (SQD):
SQDx=sumi=1^20(Xi-bar X)^2approx3818,15,
SQDy=sumi=1^20(Yi-bar Y)^2approx3894,22

Passo 4

Calculamos a soma dos produtos dos desvios (SPD):
SPDxy=sumi=1^20(Xi-bar X),(Yi-bar Y)approx1017,29

Passo 5

O coeficiente de correlação de Pearson é
r=SPDxyraizSQDx;!SQDy =1017,29raiz3818,15times3894,22 approx0,2637

Passo 6

Interpretação: como ,rapprox0,26>0, há correlação positiva, mas o valor baixo indica associação fraca entre X e Y.

Resposta

O coeficiente de correlação de Pearson é aproximadamente 0,2637, indicando uma correlação positiva fraca.

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