Exercício 17 O número total de horas, medido em unidades de 100 horas, que uma família utiliza o aspirador de pó em sua casa, durante o período de um ano, é uma variável aleatória contínua
Determine
(a) a probabilidade de que ;
(c) a probabilidade de que ;
(d) a probabilidade de que sabendo que

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória contínua
e pede várias probabilidades. Para qualquer intervalo ((a,b)], usamos

Passo 2

(a) Para P(X<0,7) basta integrar no ramo 0<x<1:
P(X<0,7)=integral0^0,7 x,dx =l[tfracx^22r]0^0,7 =0,7^22 =0,245

Passo 3

(b) Para P(X>1,3) integramos no ramo 1<= x<2:
P(X>1,3)=integral1,3^2(2 - x),dx =l[,2x - tfracx^22r]1,3^2 =(4-2);-;(2,6 - 0,845) =2 - 1,755 =0,245

Passo 4

(c) Para P(|X-1|<0,3) notamos que |X-1|<0,3 equivale a 0,7<X<1,3, então
P(0,7<X<1,3) =integral0,7^1 x,dx ;+;integral1^1,3(2 - x),dx
Calculando:
integral0,7^1 x,dx =l[tfracx^22r]0,7^1 =0,5 - 0,245 =0,255,
integral1^1,3(2 - x),dx =l[,2x - tfracx^22r]1^1,3 =(2,6 - 0,845) - (2 - 0,5) =1,755 - 1,5 =0,255
Somando,
P(|X-1|<0,3)=0,255 + 0,255 = 0,51

Passo 5

(d) Para a probabilidade condicionada
P(|X-1|<0,3mid X>0,9) =P(0,9<X<1,3)P(X>0,9).
Primeiro o numerador:
P(0,9<X<1,3) =integral0,9^1 x,dx + integral1^1,3(2 - x),dx =(0,5 - 0,405) + 0,255 =0,095 + 0,255 =0,35
Depois o denominador:
P(X>0,9) =integral0,9^1 x,dx + integral1^2(2 - x),dx =(0,5 - 0,405) + 0,5 =0,095 + 0,5 =0,595
Logo
P(|X-1|<0,3mid X>0,9) =0,350,595 =70119 approx0,588

Resposta

(a) 0,245
(b) 0,245
(c) 0,51
(d) 70119approx0,588

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