Exercício 15. Considere o seguinte sistema nas variáveis x e y.
\left\{\begin{array}{l} a x+4 y=6 \\\\ 3 x+2 y=b \end{array}\right.
Determine condições sobre a e b para que esse sistema tenha uma única solução; seja impossível; seja indeterminado. Dê o conjunto solução em cada caso.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear nas variáveis x e y:
O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas, em particular o uso de determinantes para classificar solução única, nenhum ou infinitas soluções.
Passo 2
Para ter solução única, calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
y = \frac{\begin{vmatrix}a & 6\\[4pt]3 & b\end{vmatrix}}{\Delta} = \frac{a\cdot b - 3\cdot 6}{2a - 12} = \frac{ab - 18}{2(a-6)}.]
Passo 3
Se a = 6, então \Delta = 0 e analisamos as equações:
primeira é 6x + 4y = 6, segunda é 3x + 2y = b. Note que a segunda é metade do lado esquerdo da primeira, logo só coincide se a metade do lado direito também for igual; isto é, se
b = \frac{6}{2} = 3.
Passo 4
• Se a = 6 e b \neq 3, as retas são paralelas sem interseção, logo o sistema é impossível (não tem solução).
• Se a = 6 e b = 3, as duas equações são dependentes e o sistema é indeterminado (infinitas soluções). Nesse caso basta resolver
3x + 2y = 3
em função de um parâmetro, por exemplo x = t, obtendo
y = \frac{3 - 3t}{2},\quad t\in\mathbb{R}.
Resposta
Solução única se a \neq 6, com
x = \frac{6 - 2b}{a - 6},\quad y = \frac{ab - 18}{2(a-6)}.
Sistema impossível se a = 6 e b \neq 3.
Sistema indeterminado se a = 6 e b = 3, com conjunto de soluções
\{(x,y)\mid y = \tfrac{3 - 3x}{2},\,x\in\mathbb{R}\}.