Exercício 15. Considere o seguinte sistema nas variáveis x e y.
\left\{\begin{array}{l} a x+4 y=6 \\\\ 3 x+2 y=b \end{array}\right.
Determine condições sobre a e b para que esse sistema tenha uma única solução; seja impossível; seja indeterminado. Dê o conjunto solução em cada caso.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear nas variáveis x e y:
\begin{cases} a\,x + 4\,y = 6,\\\\ 3\,x + 2\,y = b. \end{cases}
O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas, em particular o uso de determinantes para classificar solução única, nenhum ou infinitas soluções.

Passo 2

Para ter solução única, calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
\Delta = \begin{vmatrix} a & 4\\[6pt] 3 & 2 \end{vmatrix} = a\cdot 2 - 3\cdot 4 = 2a - 12.
A condição é \Delta \neq 0, ou seja a \neq 6. Nesse caso, a única solução é dada por Crammer:
x = \frac{\begin{vmatrix}6 & 4\\[4pt]b & 2\end{vmatrix}}{\Delta} = \frac{6\cdot 2 - 4\cdot b}{2a - 12} = \frac{12 - 4b}{2(a-6)} = \frac{6 - 2b}{a-6},
y = \frac{\begin{vmatrix}a & 6\\[4pt]3 & b\end{vmatrix}}{\Delta} = \frac{a\cdot b - 3\cdot 6}{2a - 12} = \frac{ab - 18}{2(a-6)}.]

Passo 3

Se a = 6, então \Delta = 0 e analisamos as equações:
primeira é 6x + 4y = 6, segunda é 3x + 2y = b. Note que a segunda é metade do lado esquerdo da primeira, logo só coincide se a metade do lado direito também for igual; isto é, se
b = \frac{6}{2} = 3.

Passo 4

• Se a = 6 e b \neq 3, as retas são paralelas sem interseção, logo o sistema é impossível (não tem solução).
• Se a = 6 e b = 3, as duas equações são dependentes e o sistema é indeterminado (infinitas soluções). Nesse caso basta resolver
3x + 2y = 3
em função de um parâmetro, por exemplo x = t, obtendo
y = \frac{3 - 3t}{2},\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Solução única se a \neq 6, com
x = \frac{6 - 2b}{a - 6},\quad y = \frac{ab - 18}{2(a-6)}.
Sistema impossível se a = 6 e b \neq 3.
Sistema indeterminado se a = 6 e b = 3, com conjunto de soluções
\{(x,y)\mid y = \tfrac{3 - 3x}{2},\,x\in\mathbb{R}\}.

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