Exercício 14. Considere o seguinte sistema nas variáveis x e y.
\left\{\begin{aligned} 3 x+a y & =1 \\\ a x+12 y & =-2 \end{aligned}\right.
Determine condições sobre o coeficiente a para que esse sistema seja possível e determinado (uma única solução), seja impossível (nenhuma solução) e seja possível e indeterminado (infinitas soluções).

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear nas variáveis x\) e \(y\) com parâmetro \(a\): \[\begin{cases} 3x + a y = 1,\\\ a x + 12y = -2.
O conteúdo usado será teoria de sistemas lineares de (2\times2]: cálculo do determinante da matriz dos coeficientes, Cramer e análise de compatibilidade (classificação em determinado, impossível ou indeterminado).

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix}3 & a\\[6pt]a & 12\end{pmatrix}
e calculamos seu determinante:
\det A = 3\cdot12 - a^2 = 36 - a^2 = (6 - a)(6 + a).]

Passo 3

Se \det A \neq 0, ou seja 36 - a^2 \neq 0 a \neq 6 e a \neq -6, então pelo Teorema de Cramer o sistema tem exatamente uma solução. Logo, para a \neq \pm 6 o sistema é possível e determinado.

Passo 4

Se \det A = 0, ou seja a = 6 ou a = -6, o sistema pode ser impossível ou indeterminado. Verificamos cada caso:
Para a = 6 as equações ficam
3x + 6y = 1, \quad 6x +12y = -2.
Multiplicando a primeira por 2 obtemos 6x +12y = 2, que contradiz a segunda -2, logo não há solução. Portanto, para
a = 6
o sistema é impossível.
Para a = -6 as equações ficam
3x -6y = 1, \quad -6x +12y = -2.
Multiplicando a primeira por -2 -6x +12y = -2, exatamente a segunda, o que gera infinitas soluções (as duas equações são equivalentes). Logo, para
a = -6
o sistema é possível e indeterminado.

Resposta

Para a \neq \pm6: sistema possível e determinado (uma única solução).
Para a = 6: sistema impossível (nenhuma solução).
Para a = -6: sistema possível e indeterminado (infinitas soluções).

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