Exercício 14. Considere o seguinte sistema nas variáveis
e
.
Determine condições sobre o coeficiente
para que esse sistema seja possível e determinado (uma única solução), seja impossível (nenhuma solução) e seja possível e indeterminado (infinitas soluções).
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema linear nas variáveis
O conteúdo usado será teoria de sistemas lineares de (2\times2]: cálculo do determinante da matriz dos coeficientes, Cramer e análise de compatibilidade (classificação em determinado, impossível ou indeterminado).
Passo 2
Formamos a matriz dos coeficientes
e calculamos seu determinante:
Passo 3
Se
, ou seja
e
, então pelo Teorema de Cramer o sistema tem exatamente uma solução. Logo, para
o sistema é possível e determinado.
Passo 4
Se
, ou seja
ou
, o sistema pode ser impossível ou indeterminado. Verificamos cada caso:
Para
as equações ficam
Multiplicando a primeira por 2 obtemos
, que contradiz a segunda
, logo não há solução. Portanto, para
o sistema é impossível.
Para
as equações ficam
Multiplicando a primeira por
dá
, exatamente a segunda, o que gera infinitas soluções (as duas equações são equivalentes). Logo, para
o sistema é possível e indeterminado.
Resposta
Para
: sistema possível e determinado (uma única solução).
Para : sistema impossível (nenhuma solução).
Para : sistema possível e indeterminado (infinitas soluções).
Para
Para