Exercício 13. Considere o seguinte sistema nas variáveis x e y.
\left\{\begin{aligned} a x+5 y & =7 \\\\ 6 x-3 y & =-4 \end{aligned}\right.
Determine condições sobre o coeficiente a para que esse sistema possua uma única solução. Dê a solução do sistema neste caso.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear em duas variáveis
\begin{cases} a x + 5y = 7,\\\\ 6x - 3y = -4, \end{cases}
cujo conteúdo é resolução de sistemas 2\times2. Para ter solução única, precisamos que a matriz dos coeficientes seja invertível (determinante não nulo) e, em seguida, aplicaremos a regra de Cramer para achar x e y.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
\det(A) = \begin{vmatrix}a & 5\\[6pt]6 & -3\end{vmatrix} = a\cdot(-3) - 6\cdot5 = -3a - 30.
Para haver solução única, exigimos
\det(A)\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad -3a - 30 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad a \neq -10.]

Passo 3

Usando a regra de Cramer, temos
x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}, \quad y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)},
onde A_x é obtida trocando-se a coluna de x pelos termos independentes e A_y trocando-se a coluna de y.

Passo 4

Calculemos \det(A_x):
A_x = \begin{pmatrix}7 & 5\\[4pt]-4 & -3\end{pmatrix}, \qquad \det(A_x) = 7\cdot(-3) - 5\cdot(-4) = -21 + 20 = -1.
Logo
x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-1}{-3a - 30} = \frac{1}{3(a+10)}.]

Passo 5

Calculemos \det(A_y):
A_y = \begin{pmatrix}a & 7\\[4pt]6 & -4\end{pmatrix}, \qquad \det(A_y) = a\cdot(-4) - 7\cdot6 = -4a - 42.
Portanto
y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-4a - 42}{-3a - 30} = \frac{4a + 42}{3(a+10)}.]

Resposta

Para que o sistema tenha solução única é preciso a \neq -10. Nesse caso, a solução é
x = \frac{1}{3(a+10)}, \quad y = \frac{4a+42}{3(a+10)}.

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