Exercício 2.5.15. Construir, em cada um dos casos seguintes, um sub-espaço W subseteq R^4 que satisfaz às condições indicadas:
(1,2,0,0) in W,(1,1,1,1) in W e dim W=3;

Passo 1

O enunciado pede construir um subespaço WsubseteqR^4 tal que (1,2,0,0)in W, (1,1,1,1)in W e dim W=3. O conteúdo é teoria de subespaços e dimensão em espaços vetoriais: precisamos formar um conjunto de três vetores linearmente independentes que inclua os dois dados.

Passo 2

Verificamos que os vetores (1,2,0,0) e (1,1,1,1) são independentes: suponha que existam a,binR tais que
a(1,2,0,0)+b(1,1,1,1)=(0,0,0,0)
Pelas 3ª e 4ª coordenadas obtemos b=0. Pela 1ª coordenada vem a=0. Logo só a solução trivial existe, e portanto são independentes.

Passo 3

Para alcançar dimensão 3, escolhemos um vetor fora do span dos dois anteriores. Tomemos
v3=(0,0,0,1)
Se fosse possível escrever
a(1,2,0,0)+b(1,1,1,1)=(0,0,0,1),
pela 4ª coordenada teríamos b=1, pela 1ª a=-1 e pela 2ª
2a+b=2(-1)+1=-1neq0,
contradição. Logo v3 não está no span de (1,2,0,0) e (1,1,1,1).

Passo 4

Assim (1,2,0,0),(1,1,1,1),(0,0,0,1) é um conjunto de três vetores linearmente independentes em R^4. Portanto o subespaço
W=span(1,2,0,0),(1,1,1,1),(0,0,0,1)
tem dimensão 3 e contém os vetores exigidos.

Resposta

W=,a(1,2,0,0)+b(1,1,1,1)+c(0,0,0,1)mid a,b,cinR

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