Exercício 2.5.15. Construir, em cada um dos casos seguintes, um sub-espaço
que satisfaz às condições indicadas:
e
;
Passo 1
O enunciado pede construir um subespaço
tal que
,
e
. O conteúdo é teoria de subespaços e dimensão em espaços vetoriais: precisamos formar um conjunto de três vetores linearmente independentes que inclua os dois dados.
Passo 2
Verificamos que os vetores
e
são independentes: suponha que existam
tais que
Pelas 3ª e 4ª coordenadas obtemos
. Pela 1ª coordenada vem
. Logo só a solução trivial existe, e portanto são independentes.
Passo 3
Para alcançar dimensão 3, escolhemos um vetor fora do span dos dois anteriores. Tomemos
Se fosse possível escrever
pela 4ª coordenada teríamos
, pela 1ª
e pela 2ª
contradição. Logo
não está no span de
e
.
Passo 4
Assim
é um conjunto de três vetores linearmente independentes em
. Portanto o subespaço
tem dimensão 3 e contém os vetores exigidos.