Exercício 2.5.15. Construir, em cada um dos casos seguintes, um sub-espaço W subseteq R^4 que satisfaz às condições indicadas:
os vetores de W satisfazem lx+y=0 z-t=0 e dim W=1.

Passo 1

O enunciado nos pede para construir um subespaço
e, além disso, (\dim W=1]. O conteúdo aqui envolve solução de sistemas lineares que definem subespaços e escolha de uma base para obter dimensão desejada.

Passo 2

Resolvendo
x+y=0, z-t=0,
tiramos y=-x e t=z. Portanto um vetor genérico da solução é
(x,y,z,t)=(x,,-x,,z,,z),
com x,zinR. Esse conjunto forma um subespaço de dimensão 2.

Passo 3

Para reduzir a dimensão de 2 para 1, basta escolher um vetor não-nulo nessa forma e tomar seu span. Por exemplo, fixamos z=0 e x=1 e obtemos o vetor
v=(1,-1,0,0)

Passo 4

Definimos
W=span(1,-1,0,0)
Qualquer vetor de W é da forma lambda(1,-1,0,0), que satisfaz
x+y=lambda-lambda=0 e z-t=0-0=0
Como (1,-1,0,0) é base de W, concluímos que dim W=1.

Resposta

W=span(1,-1,0,0)

Exercícios relacionados