Exercício 2.5.16. Estender a base do espaço vetorial V cada um dos seguintes sistemas de vetores
, quando isso é possível:
;
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
e o conjunto
. Queremos estender
a uma base de
. O conteúdo usado será o fato de que em
qualquer vetor não-nulo forma com outro vetor não-colinear um sistema de geradores e, sendo independente, uma base.
Passo 2
Primeiro, note que
é linearmente independente pois
. Como
, precisamos encontrar um vetor
que não seja múltiplo escalar de
. Por exemplo, escolhamos
Claramente não existe
tal que
porque isso levaria a
e
, sistema sem solução.
Passo 3
Agora verificamos que
é independente: se
então das componentes vem
logo
e
. Como são dois vetores independentes em
, eles formam uma base de
.