Exercício 2.5.16. Estender a base do espaço vetorial V cada um dos seguintes sistemas de vetores A, quando isso é possível:
A=(3,-1), V=R^2;

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=R^2 e o conjunto A=(3,-1). Queremos estender A a uma base de V. O conteúdo usado será o fato de que em R^2 qualquer vetor não-nulo forma com outro vetor não-colinear um sistema de geradores e, sendo independente, uma base.

Passo 2

Primeiro, note que A=(3,-1) é linearmente independente pois (3,-1)neq(0,0). Como dimR^2=2, precisamos encontrar um vetor vinR^2 que não seja múltiplo escalar de (3,-1). Por exemplo, escolhamos
v = (0,1)
Claramente não existe lambdainR tal que
(0,1)=lambda,(3,-1),
porque isso levaria a lambdacdot3=0 e lambdacdot(-1)=1, sistema sem solução.

Passo 3

Agora verificamos que (3,-1),,(0,1) é independente: se
alpha,(3,-1)+beta,(0,1)=(0,0),
então das componentes vem
3alpha+0beta=0, -alpha+beta=0
logo alpha=0 e beta=0. Como são dois vetores independentes em R^2, eles formam uma base de V.

Resposta

(3,-1),,(0,1) é uma extensão de A a uma base de R^2.

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