Exercício 15 Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. O corpo está preso a um amortecedor viscoso. Suponha que a aceleração da gravidade seja de 10^{3} centímetros por segundo ao quadrado. Suponha que o amortecedor exerce uma força de 4200 dinas quando a velocidade é de 1 centímetro por segundo. Se o corpo está sob a ação
também de uma força externa de 26000 \cos (6 t) dinas, determine a posição u em função do tempo t e faça um esboço do seu gráfico, considerando somente a solução estacionária.

Passo 1

O enunciado pede a posição u(t) do corpo só considerando a solução estacionária (ou seja, o regime forçado permanente, desprezando a solução transitória). As informações dadas são:
  • massa do corpo: m=100 gramas;
  • a mola estica 10 centímetros sob o peso do corpo (essa informação permite achar a constante elástica k);
  • aceleração da gravidade: g=10^{3} centímetros por segundo ao quadrado;
  • amortecedor viscoso: exerce força de 4200 dinas quando a velocidade é 1 cm/s (isso dá o coeficiente de amortecimento c);
  • força externa: F(t)=26000\cos(6t) dinas;
  • queremos somente a solução estacionária u(t) e um esboço do gráfico dessa solução.

Passo 2

Modelagem física (sem resolver ainda). A equação do movimento para um sistema massa-mola-amortecedor com força externa é a equação diferencial linear de segunda ordem
m\,u''(t)+c\,u'(t)+k\,u(t)=F(t),
onde
  • u(t) é o deslocamento medido a partir da posição de equilíbrio referida ao zero escolhido,
  • m é a massa (em gramas, no sistema CGS usamos gramas e dinas; mantenho as unidades dadas),
  • c é o coeficiente de amortecimento (em dyn·s/cm),
  • k é a constante da mola (em dyn/cm),
  • F(t) é a força externa (em dynas).
    Explicação rápida: m u'' é a inércia, c u' é a força de amortecimento proporcional à velocidade (viscosa), e k u é a força de restituição da mola (Lei de Hooke).

Passo 3

Encontrar k com a informação do alongamento: sob o peso mg o corpo estica a mola 10 cm. Pela Lei de Hooke no equilíbrio:
k\cdot 10 = m g.
Substituindo m=100 (g) e g=10^{3} (cm/s ^2):
k=\frac{m g}{10}=\frac{100\cdot 10^{3}}{10}=10^{4}.
Portanto k=10000 dyn/cm. (Unidades: dynas por centímetro.)

Passo 4

Encontrar c: a força do amortecedor é c\cdot v. Como foi dado que quando v=1 cm/s a força é 4200 dynas, então
c=4200
(dyn·s/cm).
Agora escrevemos a ODE com os valores numéricos:
100\,u''+4200\,u'+10000\,u=26000\cos(6t).
Dividindo por 100 para simplificar:
u''+42\,u'+100\,u=260\cos(6t).
Isso é a equação que vamos resolver para a solução estacionária.

Passo 5

Escolha do método para solução estacionária. A solução completa da ODE é soma da solução homogênea (transitória) mais uma solução particular (regime forçado). A solução estacionária é exatamente a solução particular que persiste quando o regime transitório já morreu por amortecimento. Como o termo forçante é \cos(6t), usamos o método dos coeficientes indeterminados procurando uma solução particular da forma
u_p(t)=A\cos(6t)+B\sin(6t),
porque derivando essa forma obtemos novamente combinações de \cos(6t) e \sin(6t) e podemos igualar coeficientes. Explico: para forçantes senoidais é padrão tentar combinação de seno e cosseno da mesma frequência.

Passo 6

Calcule u_p',u_p'' e substitua na ODE.
Derivadas:
u_p'=-6A\sin(6t)+6B\cos(6t),
u_p''=-36A\cos(6t)-36B\sin(6t).
Substituindo em u''+42u'+100u=260\cos(6t):
(-36A\cos-36B\sin)+42(-6A\sin+6B\cos)+100(A\cos+B\sin)=260\cos.
Agrupando termos de \cos(6t) e \sin(6t):
Coeficiente de \cos(6t):
-36A + 42\cdot 6B + 100A = ( -36A + 252B +100A) = (64A + 252B).
Coeficiente de \sin(6t):
-36B + 42\cdot(-6A) + 100B = (-36B -252A +100B) = (64B -252A).
Igualando com o lado direito 260\cos(6t)+0\sin(6t) obtemos o sistema linear
\begin{cases} 64A + 252B = 260,\\[4pt] -252A + 64B = 0. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema para A e B.
Da segunda equação:
64B=252A \quad\Rightarrow\quad B=\frac{252}{64}A=\frac{63}{16}A.
Substituindo na primeira:
64A +252\cdot\frac{63}{16}A =260.
Calcule o coeficiente:
252\cdot\frac{63}{16}=\frac{252\cdot63}{16}=\frac{63504}{16}=\frac{63504}{16}.
Mas é mais simples juntar em fração:
64A + \frac{252^2}{64}A = \frac{64^2+252^2}{64}A = \frac{4096+63504}{64}A=\frac{67600}{64}A.
Portanto
\frac{67600}{64}A=260 \quad\Rightarrow\quad A=260\cdot\frac{64}{67600}.
Simplificando:
A=\frac{260\cdot64}{67600}=\frac{16}{65}.
Agora B=\dfrac{63}{16}A=\dfrac{63}{16}\cdot\dfrac{16}{65}=\dfrac{63}{65}.
Logo a solução particular (estacionária) é
u_p(t)=\frac{16}{65}\cos(6t)+\frac{63}{65}\sin(6t).

Passo 8

Colocar em forma de amplitude e fase (mais intuitiva para o esboço). Qualquer combinação A\cos(6t)+B\sin(6t) pode ser escrita como
R\cos(6t-\varphi),
onde R=\sqrt{A^{2}+B^{2}} é a amplitude e \varphi=\arctan\!\big(\tfrac{B}{A}\big) (tomando o quadrante correto). Aqui:
R=\sqrt{\left(\frac{16}{65}\right)^{2}+\left(\frac{63}{65}\right)^{2}}=\frac{1}{65}\sqrt{16^{2}+63^{2}}=\frac{1}{65}\sqrt{4225}=\frac{65}{65}=1.
Surpresa agradável: a amplitude é exatamente 1 centímetro.
A fase é
\varphi=\arctan\!\Big(\frac{63/65}{16/65}\Big)=\arctan\!\Big(\frac{63}{16}\Big)\approx 1{,}312\\ \text{rad}\approx 75{,}2^\circ.
Portanto a solução estacionária pode ser escrita de forma compacta como
u_p(t)=\cos\big(6t-\varphi\big)\quad\text{com}\quad \varphi=\arctan\!\Big(\frac{63}{16}\Big).
Comentário físico: a frequência natural não amortecida do sistema seria \omega_0=\sqrt{k/m}=\sqrt{100}=10 rad/s. O forçamento tem frequência 6 rad/s, diferente de 10, então não há ressonância. O amortecimento causa um desfasamento \varphi entre força e resposta e reduz (ou ajusta) a amplitude — neste caso a amplitude resultante é 1 cm.

Passo 9

Esboço do gráfico (descrição para desenhar): a solução estacionária é uma cossenoide de amplitude 1 cm, frequência angular 6 rad/s, período
T=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\approx 1{,}047\\ \text{s},
e deslocada à direita (atrasada) por \varphi\approx 1{,}312 rad (ou seja, maxima de \cos(6t) ocorrem antes das máximas de u_p). Para desenhar: trace uma onda senoidal com amplitude 1, período \pi/3, e iniciando em u_p(0)=\dfrac{16}{65}\approx 0{,}246 (ponto inicial positivo), com fase conforme acima. Não plugue a solução transitória — só a estacionária.

Resposta

u(t)=\frac{16}{65}\cos(6t)+\frac{63}{65}\sin(6t)
u(t)=\cos\!\Big(6t-\arctan\!\big(\tfrac{63}{16}\big)\Big)\quad\text{(amplitude }1\text{ cm, período }T=\pi/3\text{, fase }\varphi\approx1{,}312\text{ rad).}í

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