Exercício 15 Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. O corpo está preso a um amortecedor viscoso. Suponha que a aceleração da gravidade seja de
centímetros por segundo ao quadrado. Suponha que o amortecedor exerce uma força de 4200 dinas quando a velocidade é de 1 centímetro por segundo. Se o corpo está sob a ação
também de uma força externa de
dinas, determine a posição
em função do tempo
e faça um esboço do seu gráfico, considerando somente a solução estacionária.
também de uma força externa de
Passo 1
O enunciado pede a posição
do corpo só considerando a solução estacionária (ou seja, o regime forçado permanente, desprezando a solução transitória). As informações dadas são:
- massa do corpo:
gramas; - a mola estica
centímetros sob o peso do corpo (essa informação permite achar a constante elástica ); - aceleração da gravidade:
centímetros por segundo ao quadrado; - amortecedor viscoso: exerce força de
dinas quando a velocidade é cm/s (isso dá o coeficiente de amortecimento ); - força externa:
dinas; - queremos somente a solução estacionária
e um esboço do gráfico dessa solução.
Passo 2
Modelagem física (sem resolver ainda). A equação do movimento para um sistema massa-mola-amortecedor com força externa é a equação diferencial linear de segunda ordem
onde
-
é o deslocamento medido a partir da posição de equilíbrio referida ao zero escolhido, -
é a massa (em gramas, no sistema CGS usamos gramas e dinas; mantenho as unidades dadas), -
é o coeficiente de amortecimento (em dyn·s/cm), -
é a constante da mola (em dyn/cm), -
é a força externa (em dynas).
Explicação rápida:é a inércia, é a força de amortecimento proporcional à velocidade (viscosa), e é a força de restituição da mola (Lei de Hooke).
Passo 3
Encontrar
com a informação do alongamento: sob o peso
o corpo estica a mola
cm. Pela Lei de Hooke no equilíbrio:
Substituindo
(g) e
(cm/s
):
Portanto
dyn/cm. (Unidades: dynas por centímetro.)
Passo 4
Encontrar
: a força do amortecedor é
. Como foi dado que quando
cm/s a força é
dynas, então
(dyn·s/cm).
Agora escrevemos a ODE com os valores numéricos:
Dividindo por
para simplificar:
Isso é a equação que vamos resolver para a solução estacionária.
Passo 5
Escolha do método para solução estacionária. A solução completa da ODE é soma da solução homogênea (transitória) mais uma solução particular (regime forçado). A solução estacionária é exatamente a solução particular que persiste quando o regime transitório já morreu por amortecimento. Como o termo forçante é
, usamos o método dos coeficientes indeterminados procurando uma solução particular da forma
porque derivando essa forma obtemos novamente combinações de
e
e podemos igualar coeficientes. Explico: para forçantes senoidais é padrão tentar combinação de seno e cosseno da mesma frequência.
Passo 6
Calcule
e substitua na ODE.
Derivadas:
Substituindo em
:
Agrupando termos de
e
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Igualando com o lado direito
obtemos o sistema linear
Passo 7
Resolver o sistema para
e
.
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Calcule o coeficiente:
Mas é mais simples juntar em fração:
Portanto
Simplificando:
Agora
Logo a solução particular (estacionária) é
Passo 8
Colocar em forma de amplitude e fase (mais intuitiva para o esboço). Qualquer combinação
pode ser escrita como
onde
é a amplitude e
(tomando o quadrante correto). Aqui:
Surpresa agradável: a amplitude é exatamente
centímetro.
A fase é
Portanto a solução estacionária pode ser escrita de forma compacta como
Comentário físico: a frequência natural não amortecida do sistema seria
rad/s. O forçamento tem frequência
rad/s, diferente de
, então não há ressonância. O amortecimento causa um desfasamento
entre força e resposta e reduz (ou ajusta) a amplitude — neste caso a amplitude resultante é
cm.
Passo 9
Esboço do gráfico (descrição para desenhar): a solução estacionária é uma cossenoide de amplitude
cm, frequência angular
rad/s, período
e deslocada à direita (atrasada) por
rad (ou seja, maxima de
ocorrem antes das máximas de
). Para desenhar: trace uma onda senoidal com amplitude
, período
, e iniciando em
(ponto inicial positivo), com fase conforme acima. Não plugue a solução transitória — só a estacionária.