Exercício 5 Encontre a solução geral das equações:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
, ou seja, soma de uma função trigonométrica e de um polinômio de grau 1, . - A resposta pedida é a solução geral, que deve conter as constantes arbitrárias correspondentes à ordem da equação.
Passo 2
Plano de solução (sem detalhes técnicos ainda): vamos obter primeiro a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular da equação completa. A solução geral será a soma da solução homogênea com uma solução particular.
Nota de incentivo: pode parecer muita conta, mas vamos fazer passo a passo e eu vou explicar tudo com calma — você consegue!
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada. A homogênea é
Procuramos soluções da forma
. Substituindo dá a equação característica
As raízes são
Para raízes puramente imaginárias
a solução geral homogênea é combinação linear de
e
. Aqui
. Logo a solução homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (determinaram-se pela ordem 2 da equação).
Passo 4
Escolher forma da solução particular pelo método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). Como o lado direito é soma de duas funções, podemos procurar uma solução particular na forma soma de particulares para cada parte:
onde
responde ao
e
ao
.
Regra prática que usamos:
- Para um termo trigonométrico
normalmente tentamos . Mas se a frequência aparece na solução homogênea (o que é o caso: já estão em ), então há ressonância e devemos multiplicar o palpite por . Assim tentamos
- Para um polinômio de grau
(o termo ) tentamos um polinômio de grau :
Aqui
são coeficientes desconhecidos a determinar.
Vou explicar por que multiplicamos por
: quando uma parte do palpite coincide com uma solução da homogênea, ao substituir na equação a parte que vem da segunda derivada mais
vezes a função pode se anular (ou não produzir o termo necessário), então multiplicando por
obtemos uma forma linearmente independente que pode produzir o termo desejado. É uma técnica padrão para evitar conflito com a solução homogênea.
Passo 5
Calcular rota para
. Vou derivar cuidadosamente.
Defina
e
só para legibilidade; lembre-se que
e
.
Temos
Derivando (produto
):
Derivando de novo (cada termo):
- Derivada de
é . - Derivada de
é (produto e as derivadas de ).
Somando:
Agrupando:
Agora calcule
. Primeiro
Somando com
os termos com
se cancelam:
Portanto a contribuição que
gera no lado esquerdo é
Queremos que esta expressão iguale a parte trigonométrica do lado direito, que é
(não há termo em
no lado direito). Então igualamos coeficientes:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Assim
Passo 6
Agora achar
para o termo polinomial
.
Calcule derivadas:
Então
Queremos que isto iguale a parte polinomial do lado direito, que é
. Portanto
Comparando coeficientes:
- Coeficiente de
: - Coeficiente constante:
Logo
Passo 7
Combinar as soluções: a solução particular total é
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Um comentário rápido: se quiser, pode agrupar termos em
:
mas a forma anterior já é perfeitamente válida.