Exercício 5 Encontre a solução geral das equações:
y^{\prime \prime}+4 y=2 \operatorname{sen}(2 t)+t

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação
y'' + 4y = 2\sin(2t) + t.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y(t).
  • Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é 2\sin(2t)+t, ou seja, soma de uma função trigonométrica 2\sin(2t) e de um polinômio de grau 1, t.
  • A resposta pedida é a solução geral, que deve conter as constantes arbitrárias correspondentes à ordem da equação.

Passo 2

Plano de solução (sem detalhes técnicos ainda): vamos obter primeiro a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular da equação completa. A solução geral será a soma da solução homogênea com uma solução particular.
Nota de incentivo: pode parecer muita conta, mas vamos fazer passo a passo e eu vou explicar tudo com calma — você consegue!

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada. A homogênea é
y''+4y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo dá a equação característica
r^2+4=0.
As raízes são
r=\pm 2i.
Para raízes puramente imaginárias \pm \omega i a solução geral homogênea é combinação linear de \cos(\omega t) e \sin(\omega t). Aqui \omega=2. Logo a solução homogênea é
y_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (determinaram-se pela ordem 2 da equação).

Passo 4

Escolher forma da solução particular pelo método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). Como o lado direito é soma de duas funções, podemos procurar uma solução particular na forma soma de particulares para cada parte:
y_p(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t),
onde y_{p1} responde ao 2\sin(2t) e y_{p2} ao t.
Regra prática que usamos:
  • Para um termo trigonométrico A\cos(2t)+B\sin(2t) normalmente tentamos a\cos(2t)+b\sin(2t). Mas se a frequência 2 aparece na solução homogênea (o que é o caso: \cos(2t),\sin(2t) já estão em y_h), então há ressonância e devemos multiplicar o palpite por t. Assim tentamos
y_{p1}(t)=t\bigl(a\cos(2t)+b\sin(2t)\bigr).
  • Para um polinômio de grau 1 (o termo t) tentamos um polinômio de grau 1:
y_{p2}(t)=Ct+D.
Aqui a,b,C,D são coeficientes desconhecidos a determinar.
Vou explicar por que multiplicamos por t: quando uma parte do palpite coincide com uma solução da homogênea, ao substituir na equação a parte que vem da segunda derivada mais 4 vezes a função pode se anular (ou não produzir o termo necessário), então multiplicando por t obtemos uma forma linearmente independente que pode produzir o termo desejado. É uma técnica padrão para evitar conflito com a solução homogênea.

Passo 5

Calcular rota para y_{p1}(t)=t(a\cos(2t)+b\sin(2t)). Vou derivar cuidadosamente.
Defina S=\sin(2t) e C=\cos(2t) só para legibilidade; lembre-se que S' = 2C e C' = -2S.
Temos
y_{p1}(t)=t\bigl(aC+bS\bigr).
Derivando (produto t\cdot(\cdots)):
y'_{p1}=aC+bS + t\bigl(-2aS+2bC\bigr).
Derivando de novo (cada termo):
  • Derivada de aC+bS é -2aS+2bC.
  • Derivada de t(-2aS+2bC) é (-2aS+2bC)+t(-4aC-4bS) (produto e as derivadas de S,C).
    Somando:
y''_{p1} = (-2aS+2bC) + (-2aS+2bC) + t(-4aC-4bS).
Agrupando:
y''_{p1} = -4aS + 4bC -4a t C -4b t S.
Agora calcule y''_{p1}+4y_{p1}. Primeiro
4y_{p1}=4t(aC+bS)=4a t C +4b t S.
Somando com y''_{p1} os termos com t se cancelam:
y''_{p1}+4y_{p1}=(-4aS+4bC-4a t C-4b t S)+(4a t C+4b t S)= -4aS+4bC.
Portanto a contribuição que y_{p1} gera no lado esquerdo é
y''_{p1}+4y_{p1} = -4a\sin(2t) + 4b\cos(2t).
Queremos que esta expressão iguale a parte trigonométrica do lado direito, que é 2\sin(2t) (não há termo em \cos(2t) no lado direito). Então igualamos coeficientes:
  • Coeficiente de \sin(2t): -4a = 2 \Rightarrow a = -\tfrac{1}{2}.
  • Coeficiente de \cos(2t): 4b = 0 \Rightarrow b = 0.
Assim
y_{p1}(t) = t\Bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2t)+0\cdot\sin(2t)\Bigr) = -\tfrac{1}{2}t\cos(2t).

Passo 6

Agora achar y_{p2}(t)=Ct+D para o termo polinomial t.
Calcule derivadas:
y'_{p2}=C,\qquad y''_{p2}=0.
Então
y''_{p2}+4y_{p2}=0+4(Ct+D)=4Ct+4D.
Queremos que isto iguale a parte polinomial do lado direito, que é t. Portanto
4Ct+4D = t.
Comparando coeficientes:
  • Coeficiente de t: 4C = 1 \Rightarrow C=\tfrac{1}{4}.
  • Coeficiente constante: 4D = 0 \Rightarrow D=0.
Logo
y_{p2}(t)=\tfrac{1}{4}t.

Passo 7

Combinar as soluções: a solução particular total é
y_p(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t) = -\tfrac{1}{2}t\cos(2t) + \tfrac{1}{4}t.
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)-\tfrac{1}{2}t\cos(2t)+\tfrac{1}{4}t.
Um comentário rápido: se quiser, pode agrupar termos em \cos(2t):
y(t)=\bigl(C_1-\tfrac{1}{2}t\bigr)\cos(2t)+C_2\sin(2t)+\tfrac{1}{4}t,
mas a forma anterior já é perfeitamente válida.

Resposta

y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)-\tfrac{1}{2}t\cos(2t)+\tfrac{1}{4}t

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