Exercício 16 Considere um sistema massa-mola descrito pelo problema de valor inicial
\hat{u}^{\prime \prime}+u^{\prime}+2 u=\cos \omega t, \omega>0, u(0)=0, u^{\prime}(0)=2
(a) Determine a solução geral da equação diferencial.
(b) Determine a solução estacionária deste problema.
(c) Encontre a amplitude da solução estacionária como função de \omega.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\hat{u}^{\prime\prime}+u^{\prime}+2u=\cos\omega t,\qquad \omega>0,
com condições iniciais
u(0)=0,\qquad u^{\prime}(0)=2.
O que é pedido:
  1. Determinar a solução geral da equação diferencial (isto é, a solução que satisfaz a equação e as condições iniciais).
  2. Determinar a solução estacionária (a solução de regime permanente, que permanece quando os transientes morreram).
  3. Encontrar a amplitude da solução estacionária como função de \omega.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada para obter a solução complementar. A homogênea é
u_h''+u_h'+2u_h=0.
Procuramos soluções da forma u_h(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+r+2=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{-1\pm\sqrt{1-8}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{7}}{2}.
Como as raízes são complexas conjugadas \displaystyle r=-\tfrac12\pm i\beta com \displaystyle \beta=\frac{\sqrt{7}}{2}, a forma geral da solução homogênea é (regra: para raízes \alpha\pm i\beta usamos exponencial amortecido vezes combinação de cosseno e seno)
u_h(t)=e^{-t/2}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Encontrar uma solução particular u_p(t)\) da equação não homogênea. Como o lado direito é \(\cos\omega t\), usamos o método dos coeficientes indeterminados e suponhamos \[u_p(t)=A\cos\omega t+B\sin\omega t,
onde A e B são constantes a determinar. Vamos calcular derivadas (regra: derivada do cosseno e seno):
u_p'(t)=-A\omega\sin\omega t + B\omega\cos\omega t,
u_p''(t)=-A\omega^{2}\cos\omega t - B\omega^{2}\sin\omega t.
Substituindo na equação original e coletando coeficientes de \cos\omega t e \sin\omega t obtemos o sistema linear para A e B:
\begin{cases} (2-\omega^{2})A+\omega B=1,\\[4pt] -\omega A+(2-\omega^{2})B=0. \end{cases}
(Explicação curta: igualamos coeficientes porque \cos\omega t\] e \(\sin\omega t são funções linearmente independentes.)]

Passo 4

Resolver o sistema para A e B (pode-se usar regra de Cramer). Definindo o determinante
D=(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2},
temos pelas fórmulas de Cramer:
A=\frac{2-\omega^{2}}{D},\qquad B=\frac{\omega}{D}.
Assim a solução particular é
u_p(t)=\frac{2-\omega^{2}}{D}\cos\omega t+\frac{\omega}{D}\sin\omega t,
com \displaystyle D=(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é soma da homogênea com a particular:
u(t)=u_h(t)+u_p(t)=e^{-t/2}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big) +\frac{2-\omega^{2}}{D}\cos\omega t+\frac{\omega}{D}\sin\omega t.
Agora usamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2. Primeiro avalie u(0)=0. Observando cada termo em t=0:
u(0)=e^{0}\big(C_1\cos0+C_2\sin0\big)+\frac{2-\omega^{2}}{D}\cos0+\frac{\omega}{D}\sin0,
logo
u(0)=C_1+\frac{2-\omega^{2}}{D}=0.
Portanto
C_1=-\frac{2-\omega^{2}}{D}.

Passo 6

Agora usar u'(0)=2. Precisamos calcular a derivada u'(t). Derivando a expressão geral (usar regra do produto para o termo exponencial):
\begin{aligned} u'(t)&= \frac{d}{dt}\Big[e^{-t/2}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big)\Big] +\frac{d}{dt}\Big(\frac{2-\omega^{2}}{D}\cos\omega t+\frac{\omega}{D}\sin\omega t\Big)\\[4pt] &=e^{-t/2}\Big(-\tfrac{1}{2}(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t)-\beta C_1\sin\beta t+\beta C_2\cos\beta t\Big)\\[4pt] &\quad +\Big(-\frac{2-\omega^{2}}{D}\omega\sin\omega t+\frac{\omega}{D}\omega\cos\omega t\Big). \end{aligned}
Avalie em t=0 (uso: \cos0=1,\;\sin0=0,\;e^{0}=1):
u'(0)=-\tfrac{1}{2}C_1+\beta C_2 +\frac{\omega^{2}}{D}.
Mas a condição é u'(0)=2. Substituindo C_1 já encontrado e resolvendo para C_2:
-\tfrac{1}{2}\Big(-\frac{2-\omega^{2}}{D}\Big)+\beta C_2 +\frac{\omega^{2}}{D}=2.
Simplificando o termo com C_1:
\frac{2-\omega^{2}}{2D}+\frac{\omega^{2}}{D}+\beta C_2=2.
Juntando frações:
\frac{2-\omega^{2}+2\omega^{2}}{2D}+\beta C_2=2,
\frac{2+\omega^{2}}{2D}+\beta C_2=2.
Assim
\beta C_2=2-\frac{2+\omega^{2}}{2D}=\frac{4D-(2+\omega^{2})}{2D},
portanto
C_2=\frac{4D-(2+\omega^{2})}{2D\,\beta},
onde lembramos \beta=\dfrac{\sqrt{7}}{2} e D=(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}.]

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na expressão geral, obtemos a solução do problema de valor inicial:
\begin{aligned} u(t)&=e^{-t/2}\Big(-\frac{2-\omega^{2}}{D}\cos(\beta t) +\frac{4D-(2+\omega^{2})}{2D\,\beta}\sin(\beta t)\Big)\\[4pt] &\quad +\frac{2-\omega^{2}}{D}\cos\omega t+\frac{\omega}{D}\sin\omega t, \end{aligned}
com \displaystyle \beta=\frac{\sqrt{7}}{2} e \displaystyle D=(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}.
(Comentário didático: essa expressão tem duas partes. A parte multiplicada por e^{-t/2} é o transiente, que decai exponencialmente porque a parte real das raízes da característica é -\tfrac12<0. A soma de cosseno e seno com coeficientes constantes é a resposta forçada permanente.)]

Passo 8

A solução estacionária (solução de regime permanente) é justamente a solução particular u_p(t) porque o termo homogêneo decai com o fator e^{-t/2}. Portanto
u_{\text{est}}(t)=u_p(t)=\frac{2-\omega^{2}}{D}\cos\omega t+\frac{\omega}{D}\sin\omega t,
com \displaystyle D=(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}.

Passo 9

Encontrar a amplitude da solução estacionária como função de \omega. Se
u_{\text{est}}(t)=A\cos\omega t+B\sin\omega t,
a amplitude (módulo da oscilação) é
R(\omega)=\sqrt{A^{2}+B^{2}}.
Aqui A=(2-\omega^{2})/D e B=\omega/D. Então
\begin{aligned} R(\omega)&=\sqrt{\Big(\frac{2-\omega^{2}}{D}\Big)^{2}+\Big(\frac{\omega}{D}\Big)^{2}} =\frac{\sqrt{(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}}}{D}\\[4pt] &=\frac{\sqrt{D}}{D}=\frac{1}{\sqrt{D}}. \end{aligned}
Substituindo D,
\boxed{R(\omega)=\frac{1}{\sqrt{(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}}}.}
(Este é o resultado final para a amplitude; mostra como a amplitude depende de \omega.)]

Resposta

(a) \displaystyle u(t)=e^{-t/2}\Big(-\frac{2-\omega^{2}}{D}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt7}{2}t\big) +\frac{4D-(2+\omega^{2})}{2D\,(\sqrt7/2)}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt7}{2}t\big)\Big) +\frac{2-\omega^{2}}{D}\cos\omega t+\frac{\omega}{D}\sin\omega t, onde \displaystyle D=(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}.
(b) \displaystyle u_{\text{est}}(t)=\frac{2-\omega^{2}}{D}\cos\omega t+\frac{\omega}{D}\sin\omega t, com \displaystyle D=(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}.
(c) \displaystyle R(\omega)=\frac{1}{\sqrt{(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}}}.

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