Exercício 16 Considere um sistema massa-mola descrito pelo problema de valor inicial
(a) Determine a solução geral da equação diferencial.
(b) Determine a solução estacionária deste problema.
(c) Encontre a amplitude da solução estacionária como função de
.
(b) Determine a solução estacionária deste problema.
(c) Encontre a amplitude da solução estacionária como função de
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
com condições iniciais
O que é pedido:
- Determinar a solução geral da equação diferencial (isto é, a solução que satisfaz a equação e as condições iniciais).
- Determinar a solução estacionária (a solução de regime permanente, que permanece quando os transientes morreram).
- Encontrar a amplitude da solução estacionária como função de
.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada para obter a solução complementar. A homogênea é
Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo a quadrática:
Como as raízes são complexas conjugadas
com
, a forma geral da solução homogênea é (regra: para raízes
usamos exponencial amortecido vezes combinação de cosseno e seno)
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Encontrar uma solução particular
onde
e
são constantes a determinar. Vamos calcular derivadas (regra: derivada do cosseno e seno):
Substituindo na equação original e coletando coeficientes de
e
obtemos o sistema linear para
e
:
(Explicação curta: igualamos coeficientes porque
são funções linearmente independentes.)]
Passo 4
Resolver o sistema para
e
(pode-se usar regra de Cramer). Definindo o determinante
temos pelas fórmulas de Cramer:
Assim a solução particular é
com
.
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é soma da homogênea com a particular:
Agora usamos as condições iniciais para determinar
e
. Primeiro avalie
. Observando cada termo em
:
logo
Portanto
Passo 6
Agora usar
. Precisamos calcular a derivada
. Derivando a expressão geral (usar regra do produto para o termo exponencial):
Avalie em
(uso:
):
Mas a condição é
. Substituindo
já encontrado e resolvendo para
:
Simplificando o termo com
:
Juntando frações:
Assim
portanto
onde lembramos
e
.]
Passo 7
Substituindo
e
na expressão geral, obtemos a solução do problema de valor inicial:
com
e
.
(Comentário didático: essa expressão tem duas partes. A parte multiplicada por
é o transiente, que decai exponencialmente porque a parte real das raízes da característica é
. A soma de cosseno e seno com coeficientes constantes é a resposta forçada permanente.)]
Passo 8
A solução estacionária (solução de regime permanente) é justamente a solução particular
porque o termo homogêneo decai com o fator
. Portanto
com
.
Passo 9
Encontrar a amplitude da solução estacionária como função de
. Se
a amplitude (módulo da oscilação) é
Aqui
e
. Então
Substituindo
,
(Este é o resultado final para a amplitude; mostra como a amplitude depende de
.)]
Resposta
(a)
onde
(b)
com
(c)