Exercício 11 O movimento de um pêndulo simples de massa m e comprimento l é descrito pela função \theta(t) que satisfaz a equação diferencial
\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+\frac{g}{l} \operatorname{sen} \theta=0
Suponha que o ângulo \theta seja pequeno o suficiente para que seja válida a aproximação \operatorname{sen} \theta \approx \theta.
(a) Encontre \theta(t) sabendo-se que o pêndulo é solto de um ângulo \theta_{0}.
(b) Determine a frequência, o período e a amplitude de oscilação do pêndulo.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial do movimento angular do pêndulo
\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{l}\operatorname{sen}\theta=0
e pede duas coisas:
(a) Encontrar \theta(t) supondo que o pêndulo é solto de um ângulo \theta_{0}.
(b) Determinar a frequência, o período e a amplitude de oscilação do pêndulo.
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vamos usar:
\text{(i)}\quad \frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{l}\operatorname{sen}\theta=0, \qquad \text{(ii)}\quad \text{aproximação para ângulos pequenos: }\operatorname{sen}\theta\approx\theta,çãâ
\theta_{0} é o ângulo inicial (valor de \theta no instante t=0), e “solto” significa que a velocidade angular inicial é zero: \left.\frac{d\theta}{dt}\right|_{t=0}=0.

Passo 2

Explicando a aproximação pequena: quando \theta é pequeno (em radianos, por exemplo |\theta|\lesssim 0,1 rad), a expansão em série de \sin\theta é
\sin\theta=\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\cdots,
então podemos desprezar os termos de ordem superior e usar \sin\theta\approx\theta. Essa linearização transforma a equação não linear original numa equação linear de segunda ordem que podemos resolver analiticamente. É importante lembrar que a solução obtida será válida enquanto \theta permanecer pequeno.

Passo 3

Aplicando a aproximação \sin\theta\approx\theta na equação dada, obtemos a equação linear
\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{l}\theta=0.
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vou mostrar como resolvê-la passo a passo.

Passo 4

Para resolver equações do tipo
\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\omega^{2}\theta=0,
é útil definir
\omega^{2}=\frac{g}{l},
onde \omega é a chamada frequência angular (em rad/s). Assim a equação fica
\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\omega^{2}\theta=0.

Passo 5

Método da equação característica: procuramos soluções da forma \theta(t)=e^{rt}. Substituindo na equação temos
r^{2}e^{rt}+\omega^{2}e^{rt}=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}+\omega^{2}=0.
As raízes da equação característica são
r=\pm i\omega.
Quando as raízes são puramente imaginais, as soluções são combinações de seno e cosseno.

Passo 6

A solução geral da equação é, portanto,
\theta(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aqui \omega=\sqrt{\dfrac{g}{l}}. Vou explicar o significado de A e B: A corresponde ao valor inicial da componente cosseno (frequência angular \omega), e B relaciona-se com a velocidade inicial (derivada) da solução.

Passo 7

Aplicando as condições iniciais. Temos \theta(0)=\theta_{0} e \theta'(0)=0 (pêndulo solto do repouso).
Calcule \theta(0):
\theta(0)=A\cos(0)+B\sin(0)=A\cdot 1 + B\cdot 0 = A.
Logo
A=\theta_{0}.
Calcule a derivada \theta'(t):
\theta'(t)=-A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t).
Em t=0:
\theta'(0)=-A\omega\sin(0)+B\omega\cos(0)=B\omega.
Como a condição inicial é \theta'(0)=0, obtemos
B\omega=0 \quad\Rightarrow\quad B=0.

Passo 8

Substituindo A=\theta_{0} e B=0 na solução geral, obtemos a solução particular pedida:
\theta(t)=\theta_{0}\cos(\omega t), \quad\text{com}\quad \omega=\sqrt{\frac{g}{l}}.
Expliquei acima como cada termo aparece; essa forma significa que o pêndulo oscila harmonicamente com amplitude \theta_{0} e frequência angular \omega.

Passo 9

Agora definimos e calculamos frequência, período e amplitude:
  • Amplitude: é o valor máximo de |\theta(t)|. Da solução \theta(t)=\theta_{0}\cos(\omega t) segue que a amplitude é
\text{amplitude} = |\theta_{0}|.
Observação: \theta_{0} deve estar em radianos para que as fórmulas físicas (como período) façam sentido direto.
  • Frequência angular: \omega=\sqrt{\dfrac{g}{l}} (rad/s). Muitas vezes se pede a frequência em ciclos por segundo (Hz), que é
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}.
  • Período: é o tempo para uma oscilação completa; T=\dfrac{1}{f}. Assim
T=2\pi\frac{1}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.

Passo 10

Resumo e observações finais de prova (motivação e dica): a linha de raciocínio que você deve memorizar para a prova é: linearizar \sin\theta para ângulos pequenos, reconhecer a equação do oscilador harmônico \theta''+\omega^{2}\theta=0, escrever a solução em cosseno e seno, aplicar condições iniciais. Lembre-se de que a validade da solução depende de \theta permanecer pequena (o erro cresce com ângulos maiores). Você consegue — descreva calmamente as etapas na prova e coloque as expressões de \omega,f,T como funções de g e l.

Resposta

(a) \theta(t)=\theta_{0}\cos\!\left(\sqrt{\dfrac{g}{l}}\,t\right).\n
(b) frequência \;f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{l}}, período \;T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}, amplitude \;|\theta_{0}|.

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