Exercício 15. (D.K. ex. 12.11) Suponha que
e
sejam operadores hipoelípticos.
Mostre que a composição
também é um operador hipoelíptico.
Mostre que a composição
Passo 1
O enunciado afirma que
e
são operadores hipoelípticos e pede para mostrar que a composição
é também hipoelíptica. Lembrando a definição: um operador linear
é hipoelíptico se, sempre que
for suave numa aberto
, então
é suave em
.
Passo 2
Suponha que
seja suave em um aberto
. Então
Como
é hipoelíptico, disso segue que
Passo 3
Agora temos
. Aplicando a hipoelipticidade de
, concluímos que
Portanto,
satisfaz a definição de operador hipoelíptico.
Resposta
A composição
é um operador hipoelíptico.