Exercício 15. (D.K. ex. 12.11) Suponha que P(D) e Q(D) sejam operadores hipoelípticos.
Mostre que a composição P(D) Q(D) também é um operador hipoelíptico.

Passo 1

O enunciado afirma que P(D) e Q(D) são operadores hipoelípticos e pede para mostrar que a composição
R(D)=P(D),Q(D)
é também hipoelíptica. Lembrando a definição: um operador linear A(D) é hipoelíptico se, sempre que A(D)u for suave numa aberto U, então u é suave em U.

Passo 2

Suponha que R(D)u=P(D)l(Q(D)ur) seja suave em um aberto U. Então
P(D)l(Q(D)ur);in;C^infty(U)
Como P(D) é hipoelíptico, disso segue que
Q(D)u;in;C^infty(U)

Passo 3

Agora temos Q(D)uin C^infty(U). Aplicando a hipoelipticidade de Q(D), concluímos que
u;in;C^infty(U)
Portanto, R(D)=P(D)Q(D) satisfaz a definição de operador hipoelíptico.

Resposta

A composição P(D),Q(D) é um operador hipoelíptico.

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