Exercício 2. (D.K. feito no capítulo 12) (Fórmula Integral de Pompeiu) Vimos em sala de aula que para todos
e
de classe
, em que
é um aberto limitado com fronteira
, temos
Isto pode ser interpretado como
Fazendo a convolução com a função
, obtenha a seguinte fórmula, válida para todo
:
Passo 1
O enunciado pede para derivar a fórmula de Cauchy–Pompeiu
valendo para todo
.
Vamos usar que a distribuição fundamental do operador é
Vamos usar que a distribuição fundamental do operador
e a identidade em distribuição
Passo 2
Convoluindo a identidade acima com
, e usando que
é a própria função, obtemos para
Passo 3
Reescrevendo o núcleo como
cada integral troca de sinal, e daí
Passo 4
Para a integral de contorno usamos a relação entre vetor normal e diferencial de contorno orientado positivamente (
,
):
Substituindo em
Passo 5
Juntando tudo:
que é exatamente a fórmula de Cauchy–Pompeiu.