Exercício 2. (D.K. feito no capítulo 12) (Fórmula Integral de Pompeiu) Vimos em sala de aula que para todos f e g de classe C^1(barOmega), em que Omega é um aberto limitado com fronteira C^1, temos
integralOmega(partialbarz f(z)) g(z) d x d y+integralOmega f(z)(partialbarz g(z)) d x d y=-i2 integralpartial Omega f(z) g(z) d z
Isto pode ser interpretado como
partialbarz(f chiOmega)=(partialbarz f) chiOmega-12(nx+i ny) f de<apartial Omega
Fazendo a convolução com a função 1pi z, obtenha a seguinte fórmula, válida para todo zeta in Omega :
f(zeta)=12 pi i integralpartial Omega f(z)z-zeta d z-1pi integralOmega partialbarz f(z)z-zeta d z

Passo 1

O enunciado pede para derivar a fórmula de Cauchy–Pompeiu
f(zeta) =12pi iintegralpartialOmegaf(z)z-zeta,dz -1piintegralOmegapartialbar zf(z)z-zeta,dx,dy
valendo para todo zetainOmega.
Vamos usar que a distribuição fundamental do operador partialbar z é
partialbar zl(tfrac1pi zr) =de<a0
e a identidade em distribuição
partialbar zl(f,chiOmegar) =l(partialbar zfr)chiOmega -tfrac12l(nx+i,nyr),f,de<apartialOmega

Passo 2

Convoluindo a identidade acima com 1/(pi z), e usando que de<a0*(cdot) é a própria função, obtemos para zetainOmega
f(zeta) =l(f,chiOmegar)(zeta) =1pi z*(partialbar z(fchiOmega))(zeta) =1piintegralOmegapartialbar zf(z)zeta-z,dx,dy -12piintegralpartialOmegal(nx+i nyr)f(z)zeta-z,ds

Passo 3

Reescrevendo o núcleo como
1zeta-z =-1z-zeta
cada integral troca de sinal, e daí
f(zeta) =-1piintegralOmegapartialbar zf(z)z-zeta,dx,dy +12piintegralpartialOmegal(nx+i nyr)f(z)z-zeta,ds

Passo 4

Para a integral de contorno usamos a relação entre vetor normal e diferencial de contorno orientado positivamente ( dz=(taux+itauy),ds, nx+i ny=-i(taux+itauy)):
integralpartialOmega (nx+i ny),f(z)z-zeta,ds =-iintegralpartialOmegaf(z)z-zeta,dz
Substituindo em
12piintegralpartialOmega(nx+i ny)fz-zeta,ds =12pil(-i!r)integralpartialOmegaf(z)z-zeta,dz =12pi iintegralpartialOmegaf(z)z-zeta,dz

Passo 5

Juntando tudo:
f(zeta) =12pi iintegralpartialOmegaf(z)z-zeta,dz -1piintegralOmegapartialbar zf(z)z-zeta,dx,dy,
que é exatamente a fórmula de Cauchy–Pompeiu.

Resposta

f(zeta) =12pi iintegralpartialOmegaf(z)z-zeta,dz -1piintegralOmegapartialbar zf(z)z-zeta,dx,dy

Exercícios relacionados