Exercício 14. (D.K. ex. 12.8) (Equação de Onda) Denote os pontos de R^2 por ( x, t ). Mostre que se u e v são distribuições em D^prime(R), então u(t+x)+v(t-x) é solução da equação de onda: partialt^2-partialx^2. (Note que estamos usando o difeomorfismo Phi(x, t)=(t+x, t-x))

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas distribuições u,vinD'(R), a distribuição em duas variáveis
U(x,t)=u(t+x)+v(t-x)
satisfaz a equação de onda unidimensional
(partialt^2-partialx^2),U=0
em D'(R^2). O que vamos precisar é da regra da cadeia para derivadas de distribuições compostas com funções lineares suaves.

Passo 2

Definimos as aplicações lineares suaves
S+(x,t)=t+x, S-(x,t)=t-x,
de modo que
U(x,t)=ul(S+(x,t)r)+vl(S-(x,t)r)
Cada composição ucirc S+ e vcirc S- está bem definida em D'(R^2) porque Spm são submersões (seus gradientes não se anulam).

Passo 3

Aplicamos a derivada partialt a U. Pela regra da cadeia em distribuições,
partialtl(u(S+)r) =(partialtS+),l(u'(S+)r) =1cdot u'(t+x),
partialtl(v(S-)r) =(partialtS-),l(v'(S-)r) =1cdot v'(t-x)
Logo
partialtU =u'(t+x)+v'(t-x)

Passo 4

Agora aplicamos partialx a U. De novo pela cadeia,
partialxl(u(S+)r) =(partialxS+),l(u'(S+)r) =1cdot u'(t+x),
partialxl(v(S-)r) =(partialxS-),l(v'(S-)r) =(-1)cdot v'(t-x)
Logo
partialxU =u'(t+x)-v'(t-x)

Passo 5

Basta comparar as segundas derivadas:
partialt^2U =partialtl(u'(t+x)+v'(t-x)r) =u''(t+x)+v''(t-x),
partialx^2U =partialxl(u'(t+x)-v'(t-x)r) =u''(t+x)+v''(t-x)
Portanto
(partialt^2-partialx^2),U =l(u''(t+x)+v''(t-x)r) -l(u''(t+x)+v''(t-x)r) =0

Resposta

(partialt^2-partialx^2)l(u(t+x)+v(t-x)r)=0, ou seja, u(t+x)+v(t-x) é solução da equação de onda.

Exercícios relacionados