Exercício 14. (D.K. ex. 12.8) (Equação de Onda) Denote os pontos de
por (
). Mostre que se
e
são distribuições em
, então
é solução da equação de onda:
. (Note que estamos usando o difeomorfismo
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas distribuições
, a distribuição em duas variáveis
satisfaz a equação de onda unidimensional
em
. O que vamos precisar é da regra da cadeia para derivadas de distribuições compostas com funções lineares suaves.
Passo 2
Definimos as aplicações lineares suaves
de modo que
Cada composição
e
está bem definida em
porque
são submersões (seus gradientes não se anulam).
Passo 3
Aplicamos a derivada
a
. Pela regra da cadeia em distribuições,
Logo
Passo 4
Agora aplicamos
a
. De novo pela cadeia,
Logo
Passo 5
Basta comparar as segundas derivadas:
Portanto