Use o Teorema do Núcleo e da Imagem para justificar porque não existe uma transformação linear:
T: R^3 R^4 que seja sobrejetiva;

Passo 1

O enunciado pede para justificar, usando o Teorema do Núcleo e da Imagem (também conhecido como Teorema de Dimensão), por que não existe transformação linear
T: R^3 to R^4
que seja sobrejetiva. O conteúdo envolvido é o fato de que, para qualquer transformação linear T:Vto W, vale
dim(ker T) + dim(Im T) = dim(V)

Passo 2

Aplicando o Teorema de Dimensão a T: R^3toR^4, temos
dim(ker T) + dim(Im T) = dim(R^3) = 3
Se T fosse sobrejetiva, então Im T = R^4 e, portanto,
dim(Im T) = dim(R^4) = 4
Substituindo na fórmula:
dim(ker T) + 4 = 3 Longrightarrow dim(ker T) = -1

Passo 3

Por definição de dimensão de subespaço, dim(ker T) não pode ser negativa. Obtivemos dim(ker T)=-1, o que é absurdo. Logo, não existe nenhuma transformação linear de R^3 em R^4 que seja sobrejetiva.

Resposta

Não existe porque, pela relação
dim(ker T)+dim(Im T)=3,
a imagem de T não pode ter dimensão 4, impedindo a sobrejeção.

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