Use o Teorema do Núcleo e da Imagem para justificar porque não existe uma transformação linear:
que seja sobrejetiva;
Passo 1
O enunciado pede para justificar, usando o Teorema do Núcleo e da Imagem (também conhecido como Teorema de Dimensão), por que não existe transformação linear
que seja sobrejetiva. O conteúdo envolvido é o fato de que, para qualquer transformação linear
, vale
Passo 2
Aplicando o Teorema de Dimensão a
, temos
Se
fosse sobrejetiva, então
e, portanto,
Substituindo na fórmula:
Passo 3
Por definição de dimensão de subespaço,
não pode ser negativa. Obtivemos
, o que é absurdo. Logo, não existe nenhuma transformação linear de
em
que seja sobrejetiva.
Resposta
Não existe porque, pela relação
a imagem de
não pode ter dimensão
, impedindo a sobrejeção.