Exercício 15. (D.K. ex. 9.9) Seja a in C. Mostre que as soluções u in D^prime(R) da equação diferencial x u^prime=a u formam um espaço vetorial Ha. Prove que a multiplicação por x e a diferenciação por partialx define mapas lineares de Ha em Ha+1 e Ha-1, respectivamente. Determine Ha (Dica: use o exercício 4). Decida se as aplicações de multiplicação e diferenciação são injetoras ou sobrejetoras, respectivamente.

Passo 1

No enunciado, para ainC procuramos todas as distribuições uinD'(R) satisfazendo
x,u'(x)=a,u(x)
Este é o operador de Euler peso a, e as soluções são as chamadas distribuições homogêneas de grau a. Precisamos mostrar que esse conjunto forma um espaço vetorial Ha, que as aplicações
;umapsto x,u; e ;umapsto u'; levam Ha em Ha+1 e em Ha-1, e, usando o exercício 4 (classificação de distribuições homogêneas), determinar explicitamente Ha e decidir quando essas aplicações são injetora ou sobrejetora.

Passo 2

Mostramos primeiro que o conjunto
Ha=,uinD'(R):x,u'=a,u
é um subespaço de D'(R). De fato, se u1,u2inHa e alpha,betainC, então
x(alpha u1+beta u2)' = x(alpha u1'+beta u2') = alpha,x u1'+beta,x u2' = alpha,a u1+beta,a u2 = a(alpha u1+beta u2),
logo alpha u1+beta u2inHa. Assim Ha é um espaço vetorial.

Passo 3

Agora, sejam uinHa. Definimos
v1(x)=x,u(x) e v2(x)=u'(x).
1. Para v1:
x,v1' = xl(u + x,u'r) = x,u + x^2,u' = v1 + x,(x,u') = v1 + x,(a,u) = v1 + a,v1 = (a+1),v1,
logo v1inHa+1.
2. Para v2: note que
x,v2' = x,u'' = l(x,u'r)' - u' = (a,u)' - u' = a,u' - u' = (a-1),u' = (a-1),v2,
então v2inHa-1. Portanto umapsto x,u e umapsto u' são de fato mapas lineares
HatoHa+1 e HatoHa-1.

Passo 4

Para determinar
Essas funções definem distribuições por continuação analítica em . A não unicidade na extensão ao ponto ocorre exatamente quando com , pois aí aparecem distribuições suportadas em , as derivadas .

Passo 5

Conclusão sobre Ha:
1. Se aneq -1,-2,-3,dots, então não há parte suportada em 0 além da solução suave e
Ha =l;C+,x^a+;+;C-,x^a-;r,
um espaço de dimensão 2 (constantes independentes em x>0 e x<0).
2. Se a=-k-1 com kinN0, então
H-k-1 =l;C+,x^-k-1+ + C-,x^-k-1- ;+;sumj=0^k Dj,de<a^(j);r,
de dimensão 2+(k+1)=k+3.

Passo 6

Injetividade de :
se em , então , logo

e essa forma só pertence a se para algum .
Portanto
– se , não existem distribuições suportadas em em , então é injetora;
– se , então e , logo não é injetora.

Passo 7

Sobrejetividade de partialxcolonHatoHa-1:
dado vinHa-1, procuramos uinHa com u'=v.
– Se aneq 0,-1,-2,dots, a primitiva u=C+,x^a++C-,x^a- satisfaz u'=v para constantes adequadas, e não surgem peças suportadas em 0. Logo partialx é sobrejetora.
– Se a=0 ou a=-k para algum k>=1, então dimHa<dimHa-1 e não dá para obter todas as derivadas possíveis: a aplicação não é sobrejetora.

Resposta

Para cada
Além disso, a aplicação
;
– não injetora se .
E a aplicação
é
– sobrejetora se e somente se ;
– não sobrejetora nos casos ou .]

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