Exercício 15. (D.K. ex. 9.9) Seja
. Mostre que as soluções
da equação diferencial
formam um espaço vetorial
. Prove que a multiplicação por
e a diferenciação por
define mapas lineares de
em
e
, respectivamente. Determine
(Dica: use o exercício 4). Decida se as aplicações de multiplicação e diferenciação são injetoras ou sobrejetoras, respectivamente.
Passo 1
No enunciado, para
procuramos todas as distribuições
satisfazendo
Este é o operador de Euler peso
, e as soluções são as chamadas distribuições homogêneas de grau
. Precisamos mostrar que esse conjunto forma um espaço vetorial
, que as aplicações
e
levam
em
e em
, e, usando o exercício
(classificação de distribuições homogêneas), determinar explicitamente
e decidir quando essas aplicações são injetora ou sobrejetora.
Passo 2
Mostramos primeiro que o conjunto
é um subespaço de . De fato, se
e
, então
é um subespaço de
logo
. Assim
é um espaço vetorial.
Passo 3
Agora, sejam
. Definimos
e
.
. Para
:
logo
.
. Para
: note que
então
. Portanto
e
são de fato mapas lineares
e
.
Passo 4
Para determinar
Essas funções definem distribuições por continuação analítica em
. A não unicidade na extensão ao ponto
ocorre exatamente quando
com
, pois aí aparecem distribuições suportadas em
, as derivadas
.
Passo 5
Conclusão sobre
:
. Se
, então não há parte suportada em
além da solução suave e
um espaço de dimensão
(constantes independentes em
e
).
. Se
com
, então
de dimensão
.
Passo 6
Injetividade de
:
se em
, então , logo
e essa forma só pertence a se
para algum
.
Portanto
– se , não existem distribuições suportadas em
em
, então
é injetora;
– se , então
e
, logo
não é injetora.
se
e essa forma só pertence a
Portanto
– se
– se
Passo 7
Sobrejetividade de
:
dado , procuramos
com
.
– Se , a primitiva
satisfaz
para constantes adequadas, e não surgem peças suportadas em
. Logo
é sobrejetora.
– Se ou
para algum
, então
e não dá para obter todas as derivadas possíveis: a aplicação não é sobrejetora.
dado
– Se
– Se
Resposta
Para cada
Além disso, a aplicação
;
– não injetora se .
E a aplicação
é
– sobrejetora se e somente se ;
– não sobrejetora nos casos ou
.]
;
– não injetora se
E a aplicação
– sobrejetora se e somente se
– não sobrejetora nos casos