P 2.4. a) Mostre que, se e são matrizes quadradas invertíveis com inversas resp. e , então a matriz é invertível e a sua inversa é .
b) Conclua da alínea anterior que, se é uma matriz quadrada invertível, então é invertível e .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas relacionadas a matrizes invertíveis. Primeiro (alínea a), que se e são matrizes quadradas invertíveis com inversas e , então o produto também é invertível e
Depois (alínea b), deduzir que, para qualquer inteiro positivo , a potência é invertível e
O conteúdo aqui é a propriedade de inversão de produto de matrizes e indução para potências.
Passo 2
Para a alínea (a), usamos a definição de matriz inversa: uma matriz é inversível se existe tal que
onde é a matriz identidade. Queremos provar que é inversa de . Calculemos primeiro
Agora o produto na ordem inversa:
Como ambos os produtos à direita e à esquerda dão , concluímos que é invertível e
Passo 3
Para a alínea (b), note que
é um produto de n cópias de A. Pelo resultado da alínea (a), o produto de duas matrizes invertíveis é invertível e a inversa é o produto das inversas em ordem inversa. Aplicando isso iteradamente, a inversa de A^n é
l(A^nr)^-1 = A^-1,A^-1,dots,A^-1 = underbrace(A^-1)cdot(A^-1)cdot dots cdot(A^-1)n vezes = (A^-1)^n