P 2.4. a) Mostre que, se A e B são matrizes quadradas invertíveis com inversas resp. A^-1 e B^-1, então a matriz A B é invertível e a sua inversa é B^-1 A^-1.
b) Conclua da alínea anterior que, se A é uma matriz quadrada invertível, então A^n é invertível e (A^n)^-1=(A^-1)^n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas relacionadas a matrizes invertíveis. Primeiro (alínea a), que se A e B são matrizes quadradas invertíveis com inversas A^-1 e B^-1, então o produto AB também é invertível e
(AB)^-1 = B^-1A^-1
Depois (alínea b), deduzir que, para qualquer inteiro positivo n, a potência A^n é invertível e
l(A^nr)^-1 = l(A^-1r)^n
O conteúdo aqui é a propriedade de inversão de produto de matrizes e indução para potências.

Passo 2

Para a alínea (a), usamos a definição de matriz inversa: uma matriz M é inversível se existe M^-1 tal que
MM^-1 = I e M^-1M = I,
onde I é a matriz identidade. Queremos provar que B^-1A^-1 é inversa de AB. Calculemos primeiro
(AB),(B^-1A^-1) = A,(B,B^-1),A^-1 = A,I,A^-1 = A,A^-1 = I
Agora o produto na ordem inversa:
(B^-1A^-1),(AB) = B^-1,(A^-1A),B = B^-1,I,B = B^-1B = I
Como ambos os produtos à direita e à esquerda dão I, concluímos que AB é invertível e
(AB)^-1 = B^-1A^-1

Passo 3

Para a alínea (b), note que
A^n = underbraceAcdot Acdot dots cdot An vezes
é um produto de n cópias de A. Pelo resultado da alínea (a), o produto de duas matrizes invertíveis é invertível e a inversa é o produto das inversas em ordem inversa. Aplicando isso iteradamente, a inversa de A^n é
l(A^nr)^-1 = A^-1,A^-1,dots,A^-1 = underbrace(A^-1)cdot(A^-1)cdot dots cdot(A^-1)n vezes = (A^-1)^n
Assim, A^n é invertível e l(A^nr)^-1 = (A^-1)^n.

Resposta

a) (AB)^-1 = B^-1A^-1
b) l(A^nr)^-1 = (A^-1)^n

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