Exercício 4.15 - Determine as forças axiais nos membros
da treliça, e se estes membros estão sob tração ou compressão. [Resposta:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as forças axiais nos membros
da treliça e dizer se cada membro está sob tração ou compressão. O enunciado que você enviou não contém a figura da treliça (posições dos nós, comprimento dos membros, tipos de apoios, e locais e magnitudes das cargas externas). Sem essa figura (ou descrição equivalente), faltam dados essenciais: coordenadas geométricas dos nós, quais nós recebem cargas e os tipos de apoio em
e
(por exemplo, engaste, pino, rolamento), e a direção e magnitude de cada carga aplicada. Portanto, com as informações que você me deu aqui, não há como montar as equações de equilíbrio e resolver numericamente a treliça.
Passo 2
Por que a figura é indispensável? Vou listar exatamente o que é necessário para resolver o problema numérico de forma correta:
- As coordenadas (ou comprimentos e ângulos) dos nós da treliça, para que eu possa determinar as inclinações (
e ) de cada membro. Ex.: coordenadas . - A posição, direção e magnitude das cargas externas aplicadas (por exemplo, uma carga vertical de
em um determinado nó). - Os tipos de apoio e onde estão localizados (por exemplo: apoio em
tipo pino que fornece e ; apoio em tipo rolete que fornece somente ; ou outra combinação). Isso determina quantas reações existem e suas direções.
Sem esses dados geométricos e de carregamento não é possível aplicar as equações de equilíbrio e obter os valores das reações e das forças internas. Não vou inventar a figura porque isso pode levar a respostas erradas.
Passo 3
Mesmo sem a figura, vou te ensinar passo a passo o método que você deve aplicar para resolver exatamente esse tipo de questão (para que, assim que você colar a figura ou tiver ela na prova, aplique com confiança). Primeiro passo prático: reações de apoio da treliça (corpo rígido).
- Princípio: a treliça inteira em equilíbrio satisfaz as três equações de equilíbrio no plano:
onde
é um ponto qualquer (geralmente um dos apoios) escolhido para eliminar incógnitas por momento.
- O que cada termo significa:
-
é a soma algébrica de todas as forças horizontais (positiva para a direita, por convenção). -
é a soma algébrica de todas as forças verticais (positiva para cima). -
é a soma algébrica de momentos (torques) em torno do ponto ; convenção de sinais: momento positivo no sentido anti-horário (ou escolha consistente).
-
- Como usar: identifique quantas reações de apoio existem. Se existirem 3 reações (um pino + um rolete), você usa as três equações para encontrar as reações. Escolha o ponto de momento para eliminar reações desconhecidas de modo conveniente.
Exemplo simbólico (sem números): suponha apoios em
(pino:
) e em
(rolete:
vertical). As equações seriam
onde
é a distância horizontal entre
e
. Resolva essas 3 para obter as reações.
Passo 4
Depois de achar as reações, usamos o método dos nós (joints) para obter forças nos membros.
- Princípio do método dos nós: cada nó da treliça está em equilíbrio. Aplicamos
no nó, somando as componentes das forças dos membros que se encontram ali e quaisquer cargas ou reações externas aplicadas ao nó.
- Convenção de sinal prática: considere cada força de membro
atuando ao longo do membro que conecta o nó ao nó . Assuma inicialmente que a força está em tração (puxa o nó, ou seja, aponta para fora do nó). Se ao resolver você obtiver , o membro está em tração; se , está em compressão. - Como decompor: se um membro faz ângulo
com a horizontal, suas componentes são (horizontal) e (vertical). Para obter e a partir das coordenadas dos nós e :
Passo 5
Exemplo de resolução em um nó com duas incógnitas (modelo de como fazer na prova):
- Suponha no nó
encontram-se (ângulo ), (ângulo ) e a reação . - Escrevemos as duas equações:
- Essas duas equações lineares em
e podem ser resolvidas por eliminação ou substituição. Por exemplo, isole da primeira e substitua na segunda.
Dica prática: é melhor começar em nós onde há no máximo duas incógnitas; assim você usa duas equações e resolve diretamente. Geralmente, os nós das extremidades com uma reação são bons pontos de partida.
Passo 6
Método das seções (quando vários membros desconhecidos): para determinar forças em membros interiores sem analisar muitos nós, faça um corte (seção) que atravessa no máximo três membros desconhecidos e aplique as equações de equilíbrio ao conjunto (metodo útil quando você precisa de um membro grande no meio da treliça).
- Equilíbrios da seção:
escolha
de modo a eliminar incógnitas por momento.
- Exemplo: corte a treliça e considere a metade esquerda; use
em um ponto que anula duas forças desconhecidas para resolver diretamente a terceira.
Passo 7
Como interpretar sinal e concluir tração/compressão:
- Se ao resolver você obtiver
(pela convenção prévia, assumimos tração), então o membro está em tração. - Se
, então o membro está em compressão; normalmente reporta-se o valor absoluto e indica-se . - Ao escrever resultado final, use unidade
e indique para tração e para compressão.
Passo 8
Verificações finais (importantes na prova):
- Em cada nó verifique
e numericamente — isso confere os cálculos locais. - Para a estrutura inteira, verifique
. - Consistência geométrica: use aritmética simples (frações, raízes quadradas para comprimentos) para encontrar
e ; evite usar calculadora para ângulos conhecidos (ex.: 30°,45°,60°) se a treliça tem comprimentos simples.
Passo 9
Resumo do procedimento que você deve aplicar passo a passo na prova (resumindo em ordem prática):
- Identificar apoios e cargas — escrever as três equações de equilíbrio para a treliça inteira e encontrar reações de apoio.
- Calcular comprimentos e ângulos de cada membro a partir das coordenadas dos nós.
- Escolher um nó com no máximo duas incógnitas e aplicar o método dos nós (duas equações) para encontrar as forças desses membros.
- Propagar para outros nós (resolver sucessivamente) ou usar método das seções quando for mais conveniente.
- Determinar sinal e classificar tração/compressão.
- Conferir com as equações de equilíbrio do sistema.
Passo 10
Conclusão específica para o seu pedido: eu não posso calcular numericamente as forças axiais pedidas sem a figura (ou uma descrição equivalente com coordenadas dos nós, apoios e cargas). Você mencionou uma lista de respostas esperadas na sua mensagem — se você quiser, você pode:
- enviar a figura da treliça (foto, scan ou desenho) ou
- descrever as coordenadas de cada nó, os apoios e as cargas aplicadas;
com isso eu aplico exatamente o procedimento acima e mostro o desenvolvimento passo a passo até chegar nos valores numéricos (e vou fazer isso de forma bem mastigada, explicando cada conta).
Resposta
Não é possível resolver numericamente porque a figura/descrição geométrica da treliça (posições dos nós, tipos de apoio e carregamentos) não foi enviada; esses dados são essenciais para montar e resolver as equações de equilíbrio.