Exercício 4.15 - Determine as forças axiais nos membros A B, A G, E F, G F, B C, B G, E G, E D, C D, D G da treliça, e se estes membros estão sob tração ou compressão. [Resposta: R_{A y}=R_{F y}=1100 \mathrm{~N} \uparrow ; R_{F x}=346.41 \mathrm{N} \leftarrow ; F_{A B}=981.50 \mathrm{~N}(\mathrm{C}) ; F_{A G}=490.75 \mathrm{~N}(\mathrm{~T}) ; F_{E F}= 1700.00 \mathrm{~N}(\mathrm{C}) ; F_{G F}=1818.65 \mathrm{~N}(\mathrm{~T}) ; F_{B C}=981.50 \mathrm{~N}(\mathrm{C}) ; F_{B G}=400 \mathrm{~N}(\mathrm{C}) ; F_{E G}=500 \mathrm{~N}(\mathrm{C}) ; F_{E D}=1200 \mathrm{~N}(\mathrm{C}) ; \left.F_{C D}=1200 \mathrm{~N}(\mathrm{C}) ; F_{D G}=500 \mathrm{~N}(\mathrm{C})\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar as forças axiais nos membros AB, AG, EF, GF, BC, BG, EG, ED, CD, DG da treliça e dizer se cada membro está sob tração ou compressão. O enunciado que você enviou não contém a figura da treliça (posições dos nós, comprimento dos membros, tipos de apoios, e locais e magnitudes das cargas externas). Sem essa figura (ou descrição equivalente), faltam dados essenciais: coordenadas geométricas dos nós, quais nós recebem cargas e os tipos de apoio em A e F (por exemplo, engaste, pino, rolamento), e a direção e magnitude de cada carga aplicada. Portanto, com as informações que você me deu aqui, não há como montar as equações de equilíbrio e resolver numericamente a treliça.

Passo 2

Por que a figura é indispensável? Vou listar exatamente o que é necessário para resolver o problema numérico de forma correta:
  1. As coordenadas (ou comprimentos e ângulos) dos nós da treliça, para que eu possa determinar as inclinações ( \cos e \sin) de cada membro. Ex.: coordenadas (x_A,y_A),(x_B,y_B),\dots.
  2. A posição, direção e magnitude das cargas externas aplicadas (por exemplo, uma carga vertical de 1200\\ \mathrm{N} em um determinado nó).
  3. Os tipos de apoio e onde estão localizados (por exemplo: apoio em A tipo pino que fornece R_{Ax} e R_{Ay}; apoio em F tipo rolete que fornece somente R_{Fy}; ou outra combinação). Isso determina quantas reações existem e suas direções.
    Sem esses dados geométricos e de carregamento não é possível aplicar as equações de equilíbrio e obter os valores das reações e das forças internas. Não vou inventar a figura porque isso pode levar a respostas erradas.

Passo 3

Mesmo sem a figura, vou te ensinar passo a passo o método que você deve aplicar para resolver exatamente esse tipo de questão (para que, assim que você colar a figura ou tiver ela na prova, aplique com confiança). Primeiro passo prático: reações de apoio da treliça (corpo rígido).
  • Princípio: a treliça inteira em equilíbrio satisfaz as três equações de equilíbrio no plano:
\sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0,\qquad \sum M_O = 0,
onde O é um ponto qualquer (geralmente um dos apoios) escolhido para eliminar incógnitas por momento.
  • O que cada termo significa:
    • \sum F_x é a soma algébrica de todas as forças horizontais (positiva para a direita, por convenção).
    • \sum F_y é a soma algébrica de todas as forças verticais (positiva para cima).
    • \sum M_O é a soma algébrica de momentos (torques) em torno do ponto O; convenção de sinais: momento positivo no sentido anti-horário (ou escolha consistente).
  • Como usar: identifique quantas reações de apoio existem. Se existirem 3 reações (um pino + um rolete), você usa as três equações para encontrar as reações. Escolha o ponto de momento para eliminar reações desconhecidas de modo conveniente.
Exemplo simbólico (sem números): suponha apoios em A (pino: R_{Ax},R_{Ay}) e em F (rolete: R_{Fy} vertical). As equações seriam
\sum F_x: \; R_{Ax} + \sum F_{x,\text{externas}} = 0,
\sum F_y: \; R_{Ay} + R_{Fy} + \sum F_{y,\text{externas}} = 0,
\sum M_A: \; R_{Fy}\cdot d_{AF} + \sum (M_{\text{ext}} \text{ de cargas}) = 0,
onde d_{AF} é a distância horizontal entre A e F. Resolva essas 3 para obter as reações.

Passo 4

Depois de achar as reações, usamos o método dos nós (joints) para obter forças nos membros.
  • Princípio do método dos nós: cada nó da treliça está em equilíbrio. Aplicamos
\sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0
no nó, somando as componentes das forças dos membros que se encontram ali e quaisquer cargas ou reações externas aplicadas ao nó.
  • Convenção de sinal prática: considere cada força de membro F_{ij} atuando ao longo do membro que conecta o nó i ao nó j. Assuma inicialmente que a força está em tração (puxa o nó, ou seja, aponta para fora do nó). Se ao resolver você obtiver F_{ij}>0, o membro está em tração; se F_{ij}<0, está em compressão.
  • Como decompor: se um membro faz ângulo \theta com a horizontal, suas componentes são \,F\cos\theta (horizontal) e \,F\sin\theta (vertical). Para obter \cos\theta e \sin\theta a partir das coordenadas dos nós i(x_i,y_i) e j(x_j,y_j):
\Delta x = x_j-x_i,\qquad \Delta y = y_j-y_i,
L = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},
\cos\theta = \frac{\Delta x}{L},\qquad \sin\theta = \frac{\Delta y}{L}.

Passo 5

Exemplo de resolução em um nó com duas incógnitas (modelo de como fazer na prova):
  • Suponha no nó A encontram-se AB (ângulo \theta_{AB}), AG (ângulo \theta_{AG}) e a reação R_{Ay}.
  • Escrevemos as duas equações:
\sum F_x:\quad F_{AB}\cos\theta_{AB} + F_{AG}\cos\theta_{AG} + (\text{eventual }R_{Ax}) = 0,
\sum F_y:\quad F_{AB}\sin\theta_{AB} + F_{AG}\sin\theta_{AG} + R_{Ay} + (\text{cargas verticais no nó}) = 0.ó
  • Essas duas equações lineares em F_{AB} e F_{AG} podem ser resolvidas por eliminação ou substituição. Por exemplo, isole F_{AB} da primeira e substitua na segunda.
Dica prática: é melhor começar em nós onde há no máximo duas incógnitas; assim você usa duas equações e resolve diretamente. Geralmente, os nós das extremidades com uma reação são bons pontos de partida.

Passo 6

Método das seções (quando vários membros desconhecidos): para determinar forças em membros interiores sem analisar muitos nós, faça um corte (seção) que atravessa no máximo três membros desconhecidos e aplique as equações de equilíbrio ao conjunto (metodo útil quando você precisa de um membro grande no meio da treliça).
  • Equilíbrios da seção:
\sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0,\qquad \sum M_P = 0,
escolha P de modo a eliminar incógnitas por momento.
  • Exemplo: corte a treliça e considere a metade esquerda; use \sum M em um ponto que anula duas forças desconhecidas para resolver diretamente a terceira.

Passo 7

Como interpretar sinal e concluir tração/compressão:
  • Se ao resolver você obtiver F_{ij}>0 (pela convenção prévia, assumimos tração), então o membro ij está em tração.
  • Se F_{ij}<0, então o membro está em compressão; normalmente reporta-se o valor absoluto e indica-se (\mathrm{C}).
  • Ao escrever resultado final, use unidade \mathrm{N} e indique T para tração e C para compressão.

Passo 8

Verificações finais (importantes na prova):
  1. Em cada nó verifique \sum F_x=0 e \sum F_y=0 numericamente — isso confere os cálculos locais.
  2. Para a estrutura inteira, verifique \sum F_x=0,\\ \sum F_y=0,\\ \sum M=0.
  3. Consistência geométrica: use aritmética simples (frações, raízes quadradas para comprimentos) para encontrar \cos e \sin; evite usar calculadora para ângulos conhecidos (ex.: 30°,45°,60°) se a treliça tem comprimentos simples.

Passo 9

Resumo do procedimento que você deve aplicar passo a passo na prova (resumindo em ordem prática):
  1. Identificar apoios e cargas — escrever as três equações de equilíbrio para a treliça inteira e encontrar reações de apoio.
  2. Calcular comprimentos e ângulos de cada membro a partir das coordenadas dos nós.
  3. Escolher um nó com no máximo duas incógnitas e aplicar o método dos nós (duas equações) para encontrar as forças desses membros.
  4. Propagar para outros nós (resolver sucessivamente) ou usar método das seções quando for mais conveniente.
  5. Determinar sinal e classificar tração/compressão.
  6. Conferir com as equações de equilíbrio do sistema.

Passo 10

Conclusão específica para o seu pedido: eu não posso calcular numericamente as forças axiais pedidas sem a figura (ou uma descrição equivalente com coordenadas dos nós, apoios e cargas). Você mencionou uma lista de respostas esperadas na sua mensagem — se você quiser, você pode:
  • enviar a figura da treliça (foto, scan ou desenho) ou
  • descrever as coordenadas de cada nó, os apoios e as cargas aplicadas;
com isso eu aplico exatamente o procedimento acima e mostro o desenvolvimento passo a passo até chegar nos valores numéricos (e vou fazer isso de forma bem mastigada, explicando cada conta).

Resposta

Não é possível resolver numericamente porque a figura/descrição geométrica da treliça (posições dos nós, tipos de apoio e carregamentos) não foi enviada; esses dados são essenciais para montar e resolver as equações de equilíbrio.

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