(3,0) Um satélite artificial de massa m=1200 \mathrm{~kg} está em órbita circular em torno da Terra a uma altitude de \mathrm{h}=600 \mathrm{~km} acima da superficie terrestre.
Considere os seguintes dados:
Raio médio da Terra: \mathrm{R}_{\mathrm{T}}=6,37 \times 10^{6} \mathrm{~m}; Massa da Terra: \mathrm{M}_{\mathrm{T}}=5,97 \times 10^{24} \mathrm{~kg}; Constante da gravitação universal: G=6,67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \mathrm{~m} / \mathrm{kg}^{2}
a) Determine a velocidade orbital do satélite.
b) Calcule o periodo de revolução (tempo necessário para dar uma volta completa em torno da Terra).
c) Explique, qualitativamente, o que aconteceria com o período orbital se a altitude do satélite fosse aumentada para 36.000 km

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Determine a velocidade orbital do satélite.
  • (b) Calcule o período de revolução (tempo para dar uma volta completa).
  • (c) Explique qualitativamente o que acontece com o período se a altitude subir para 36{,}000\\ \mathrm{km}.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
m=1200\\ \mathrm{kg}
h=600\\ \mathrm{km}=600{,}000\\ \mathrm{m}
R_{T}=6{,}37\times 10^{6}\\ \mathrm{m}
M_{T}=5{,}97\times 10^{24}\\ \mathrm{kg}
G=6{,}67\times 10^{-11}\\ \mathrm{N\,m^{2}/kg^{2}}
Observação: a órbita é circular a altitude h acima da superfície, portanto o raio da órbita é r=R_{T}+h. Não começo a resolver aqui; só organizei os pedidos e os dados.

Passo 2

Conceito chave que vamos usar (explicadinho): a força que mantém o satélite em órbita é a gravidade da Terra. Para uma órbita circular, essa força gravitacional fornece exatamente a força centrípeta necessária para o movimento circular. Escrevemos as duas forças e igualamos:
Força gravitacional:
F_{g}=\frac{G\,M_{T}\,m}{r^{2}}
Força centrípeta necessária para mover um objeto de massa m com velocidade v em raio r:
F_{c}=m\,\frac{v^{2}}{r}
Como a gravidade fornece a centrípeta, igualamos:
\frac{G\,M_{T}\,m}{r^{2}}=m\,\frac{v^{2}}{r}.
Nota didática: o m do satélite aparece nos dois lados; isso significa que a velocidade orbital não depende da massa do satélite (ufa — você não precisa saber a massa para saber a velocidade orbital).

Passo 3

Isolando v na igualdade do passo anterior (a derivação que vai cair direto na sua prova):
\frac{G\,M_{T}}{r^{2}}=\frac{v^{2}}{r}
Multiplicando ambos os lados por r:
\frac{G\,M_{T}}{r}=v^{2}
Tomando raiz quadrada:
v=\sqrt{\frac{G\,M_{T}}{r}}.
Aqui r é o raio da órbita: r=R_{T}+h. Essa é a fórmula padrão para velocidade orbital circular. Vou mostrar o passo a passo numérico a seguir.

Passo 4

Calculemos os números passo a passo.
  1. Raio da órbita:
r=R_{T}+h=6{,}37\times 10^{6}+6{,}00\times 10^{5}=6{,}97\times 10^{6}\\ \mathrm{m}.
  1. Produto G\,M_{T}:
G\,M_{T}=(6{,}67\times 10^{-11})\cdot(5{,}97\times 10^{24})=3{,}98199\times 10^{14}\\ \mathrm{m^{3}/s^{2}}.
(Usei a multiplicação direta: 6{,}67\cdot 5{,}97\approx 39{,}8199 e combinei potências de 10.)
  1. Agora a velocidade:
v=\sqrt{\frac{3{,}98199\times 10^{14}}{6{,}97\times 10^{6}}} =\sqrt{5{,}7153\times 10^{7}} \approx 7{,}565\\ \mathrm{m/s}.
Comentário prático: normalmente escrevemos em km/s também: v\approx 7{,}565\\ \mathrm{m/s}=7{,}565\\ \mathrm{km/s} (corrigindo unidades: na verdade 7{,}565\\ \mathrm{m/s}=7{,}565\times 10^{-3}\\ \mathrm{km/s}; o jeito usual é apresentar em \mathrm{km/s} como 7{,}565\\ \mathrm{km/s} divide-se por 1000: v\approx 7{,}565\\ \mathrm{km/s}.)

Passo 5

Agora o período T. Conceito: período é o tempo que leva para percorrer uma volta completa na órbita circular. O comprimento da órbita é a circunferência 2\pi r. Se a velocidade é v (assumida constante na órbita circular), então
T=\frac{\text{comprimento}}{\text{velocidade}}=\frac{2\pi r}{v}.
Também podemos usar a relação com G e M_{T} substituindo v=\sqrt{\dfrac{G M_{T}}{r}}. Fazendo isso obtemos a forma muito usada (é análoga à 3ª lei de Kepler para órbitas circulares):
T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{G\,M_{T}}}.
Esta forma mostra que T cresce com r^{3/2}. Vou calcular numericamente usando T=2\pi r/v com os números que já tenho.

Passo 6

Cálculo numérico do período usando T=\dfrac{2\pi r}{v}.
  1. 2\pi r=2\pi\cdot 6{,}97\times 10^{6}\\ \mathrm{m}=4{,}3787\times 10^{7}\\ \mathrm{m}.
  2. Dividindo pela velocidade:
T=\frac{4{,}3787\times 10^{7}}{7{,}565}\\ \mathrm{s}\approx 5{,}788\times 10^{3}\\ \mathrm{s}.
  1. Convertemos para minutos e horas:
5{,}788\times 10^{3}\\ \mathrm{s}\approx 96{,}5\\ \mathrm{min}\approx 1{,}61\\ \mathrm{h}.
Então o satélite leva cerca de 96{,}5 minutos (uma volta), o que é típico de órbitas baixas.

Passo 7

Resposta qualitativa para (c): o que acontece se aumentarmos a altitude para h=36{,}000\\ \mathrm{km}?
  • Pelo resultado do passo 5, T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^{3}}{G\,M_{T}}}. Assim T depende de r como T\propto r^{3/2}. Se aumentamos r, o período aumenta — ou seja, o satélite demora mais tempo para dar uma volta.
  • Para ter uma noção numérica rápida: novo raio r_{\text{novo}}=R_{T}+36{,}000\\ \mathrm{km}=6{,}37\times 10^{6}+36{,}0\times 10^{6}=4{,}237\times 10^{7}\\ \mathrm{m}.
  • Razão entre períodos:
\frac{T_{\text{novo}}}{T_{\text{antigo}}}=\left(\frac{r_{\text{novo}}}{r_{\text{antigo}}}\right)^{3/2} =\left(\frac{4{,}237\times 10^{7}}{6{,}97\times 10^{6}}\right)^{3/2}\approx 15.
Logo o período aumenta cerca de 15 vezes; como o período original era \approx 1{,}61\\ \mathrm{h}, o novo período fica em torno de 24\\ \mathrm{h}. Isso é consistente com a órbita geoestacionária (que fica próxima de 36{,}000\\ \mathrm{km} e tem período de 24 horas). Em palavras simples: ao subir para 36{,}000\\ \mathrm{km} a velocidade orbital diminui e o período cresce muito — o satélite passa a demorar cerca de um dia para completar uma volta.
Força motivadora: deu trabalho, mas agora você tem a fórmula, sabe de onde vem e consegue aplicar direto na prova. Vai com fé!

Resposta

(a) v\approx 7{,}565\\ \mathrm{m/s}.
(b) T\approx 5{,}788\times 10^{3}\\ \mathrm{s}\approx 96{,}5\\ \mathrm{min}\approx 1{,}61\\ \mathrm{h}.
(c) O período aumentaria; para h=36{,}000\\ \mathrm{km} tem-se T\propto r^{3/2} e o novo período seria aproximadamente 24\\ \mathrm{h}.

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