Um satélite artificial de massa
está em órbita circular em torno da Terra a uma altitude de
acima da superficie terrestre.
Considere os seguintes dados:
Raio médio da Terra:
; Massa da Terra:
; Constante da gravitação universal:
a) Determine a velocidade orbital do satélite.
b) Calcule o periodo de revolução (tempo necessário para dar uma volta completa em torno da Terra).
c) Explique, qualitativamente, o que aconteceria com o período orbital se a altitude do satélite fosse aumentada para 36.000 km
Considere os seguintes dados:
Raio médio da Terra:
a) Determine a velocidade orbital do satélite.
b) Calcule o periodo de revolução (tempo necessário para dar uma volta completa em torno da Terra).
c) Explique, qualitativamente, o que aconteceria com o período orbital se a altitude do satélite fosse aumentada para 36.000 km
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Determine a velocidade orbital do satélite.
- (b) Calcule o período de revolução (tempo para dar uma volta completa).
- (c) Explique qualitativamente o que acontece com o período se a altitude subir para
.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
Observação: a órbita é circular a altitude
acima da superfície, portanto o raio da órbita é
. Não começo a resolver aqui; só organizei os pedidos e os dados.
Passo 2
Conceito chave que vamos usar (explicadinho): a força que mantém o satélite em órbita é a gravidade da Terra. Para uma órbita circular, essa força gravitacional fornece exatamente a força centrípeta necessária para o movimento circular. Escrevemos as duas forças e igualamos:
Força gravitacional:
Força centrípeta necessária para mover um objeto de massa
com velocidade
em raio
:
Como a gravidade fornece a centrípeta, igualamos:
Nota didática: o
do satélite aparece nos dois lados; isso significa que a velocidade orbital não depende da massa do satélite (ufa — você não precisa saber a massa para saber a velocidade orbital).
Passo 3
Isolando
na igualdade do passo anterior (a derivação que vai cair direto na sua prova):
Multiplicando ambos os lados por
:
Tomando raiz quadrada:
Aqui
é o raio da órbita:
. Essa é a fórmula padrão para velocidade orbital circular. Vou mostrar o passo a passo numérico a seguir.
Passo 4
Calculemos os números passo a passo.
- Raio da órbita:
- Produto
:
(Usei a multiplicação direta:
e combinei potências de 10.)
- Agora a velocidade:
Comentário prático: normalmente escrevemos em km/s também:
(corrigindo unidades: na verdade
; o jeito usual é apresentar em
como
divide-se por
:
.)
Passo 5
Agora o período
. Conceito: período é o tempo que leva para percorrer uma volta completa na órbita circular. O comprimento da órbita é a circunferência
. Se a velocidade é
(assumida constante na órbita circular), então
Também podemos usar a relação com
e
substituindo
. Fazendo isso obtemos a forma muito usada (é análoga à 3ª lei de Kepler para órbitas circulares):
Esta forma mostra que
cresce com
. Vou calcular numericamente usando
com os números que já tenho.
Passo 6
Cálculo numérico do período usando
.
-
-
Dividindo pela velocidade:
- Convertemos para minutos e horas:
Então o satélite leva cerca de
minutos (uma volta), o que é típico de órbitas baixas.
Passo 7
Resposta qualitativa para (c): o que acontece se aumentarmos a altitude para
?
- Pelo resultado do passo 5,
. Assim depende de como . Se aumentamos , o período aumenta — ou seja, o satélite demora mais tempo para dar uma volta. - Para ter uma noção numérica rápida: novo raio
- Razão entre períodos:
Logo o período aumenta cerca de
vezes; como o período original era
, o novo período fica em torno de
. Isso é consistente com a órbita geoestacionária (que fica próxima de
e tem período de
horas). Em palavras simples: ao subir para
a velocidade orbital diminui e o período cresce muito — o satélite passa a demorar cerca de um dia para completar uma volta.
Força motivadora: deu trabalho, mas agora você tem a fórmula, sabe de onde vem e consegue aplicar direto na prova. Vai com fé!
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) O período aumentaria; para tem-se
e o novo período seria aproximadamente
.
(b)
(c) O período aumentaria; para