Exercício bônus \mathbf{1 , 0} Demonstre que a energia mecânica é conservada (Utilize ferramentas e linguagem compreendidas na matemática).

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar que a energia mecânica é conservada, isto é, provar que a soma da energia cinética e da energia potencial permanece constante no tempo ao longo do movimento de uma partícula sob uma força apropriada.
Informações/hipóteses que vamos usar (todas necessárias para a demonstração):
  • Temos uma partícula de massa m que se move numa trajetória \mathbf{r}(t).
  • A velocidade é \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt} e a aceleração é \mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}.
  • A energia cinética é definida por \displaystyle T(t)=\frac{1}{2}m\|\mathbf{v}(t)\|^{2}.
  • Existe uma função potencial V(\mathbf{r}) (função suave de posição) tal que a força é dada por
\mathbf{F}(\mathbf{r})=-\nabla V(\mathbf{r}).
  • A partícula obedece à segunda lei de Newton:
m\mathbf{a}(t)=\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)).
Pergunta concreta a responder: provar, a partir das definições e das hipóteses acima, que a energia mecânica
E(t)=T(t)+V(\mathbf{r}(t))
é constante no tempo, isto é, \dfrac{dE}{dt}=0 para todo t.

Passo 2

Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas de forma didática):
  1. Produto escalar e norma quadrada.
  • Para um vetor \mathbf{v} temos \|\mathbf{v}\|^{2}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}.
  • Derivada de \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}: usando a regra do produto para vetores,
\frac{d}{dt}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})=2\,\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{v}}{dt}=2\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}.
Isto vem do ideia simples: trate \mathbf{v}\cdot\mathbf{v} como v_i v_i e aplique a regra da derivada (somatório implícito).
  1. Gradiente e regra da cadeia para funções de posição.
  • \nabla V(\mathbf{r}) é o vetor das derivadas parciais de V. Ele mede como V muda quando a posição muda.
  • Regra da cadeia: se V depende de \mathbf{r} e \mathbf{r} depende de t, então
\frac{d}{dt}V(\mathbf{r}(t))=\nabla V(\mathbf{r}(t))\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\nabla V(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{v}(t).
Isto é parecido com a regra da cadeia escalar, mas para funções multivariáveis: a variação temporal de V ao longo da trajetória é o gradiente “projetado” na velocidade.
  1. Segunda lei de Newton que relaciona força e aceleração:
m\mathbf{a}(t)=\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)).
Sob a hipótese de força conservativa, temos \mathbf{F}=-\nabla V.

Passo 3

Calcular a derivada temporal da energia cinética T(t)=\dfrac{1}{2}m\|\mathbf{v}(t)\|^{2}.
Aplicando a derivada e a identidade do produto escalar do Passo 2:
\frac{dT}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\right) =\frac{1}{2}m\cdot 2\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{a} = m\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}.
Expliquei cada passo: tirei a constante m/2 para fora, usei \dfrac{d}{dt}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})=2\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}, e simplifiquei.

Passo 4

Substituir a aceleração usando a segunda lei de Newton.
Pela lei de Newton m\mathbf{a}=\mathbf{F}. Portanto,
\frac{dT}{dt}= \mathbf{v}\cdot\mathbf{F}.
Esta expressão tem interpretação física: a potência instantânea da força (força projetada na velocidade) é a taxa de variação da energia cinética.

Passo 5

Usar a hipótese de força conservativa \mathbf{F}(\mathbf{r})=-\nabla V(\mathbf{r}) para ligar \dfrac{dT}{dt} e \dfrac{dV}{dt}.
Substituindo em \dfrac{dT}{dt}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{F} temos
\frac{dT}{dt}=\mathbf{v}\cdot(-\nabla V)=-\mathbf{v}\cdot\nabla V.
Pelo passo 2 (regra da cadeia aplicada a V(\mathbf{r}(t))),
\frac{d}{dt}V(\mathbf{r}(t))=\nabla V\cdot\mathbf{v}.
Logo combinando,
\frac{dT}{dt}=-\frac{dV}{dt}.
Expliquei: a variação da energia cinética é exatamente o negativo da variação da energia potencial, porque a potência da força conservativa remove energia de uma e coloca na outra.

Passo 6

Concluir que a energia mecânica é conservada.
Somando as derivadas obtidas:
\frac{d}{dt}\bigl(T(t)+V(\mathbf{r}(t))\bigr)=\frac{dT}{dt}+\frac{dV}{dt}= -\frac{dV}{dt}+\frac{dV}{dt}=0.
Portanto a derivada temporal da energia mecânica E(t)=T(t)+V(\mathbf{r}(t)) é zero em todo instante t. Assim E(t) é constante ao longo do movimento.
Em termos integrados: existe uma constante E_{0} tal que, para todo t,
T(t)+V(\mathbf{r}(t))=E_{0}.

Passo 7

Comentário didático e exemplo simples para fixar a ideia (jeito prático de aplicar na prova).
Exemplo 1D (muito intuitivo): massa m sobre o eixo vertical x com potencial gravitacional V(x)=mgx (contando x para cima). Então \nabla V=dV/dx=mg e a força é \,F=-mg. A segunda lei dá m a=-mg. Calcule
\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{1}{2}m v^{2}+mgx\Bigr)=m v a + mg v = v\,(m a + mg)=0,
pois m a + mg=0. Logo T+V constante — é exatamente o resultado geral aplicado ao caso concreto.
Observação rápida sobre hipóteses: a propriedade de conservação que provamos exige que a força seja conservativa (isto é, exista V tal que \mathbf{F}=-\nabla V) e que m seja constante. Se houver forças não conservativas (ex.: atrito), o termo \mathbf{v}\cdot\mathbf{F} não será igual a -dV/dt e a energia mecânica não será conservada — parte da energia é dissipada.

Resposta

A energia mecânica E(t)=T(t)+V(\mathbf{r}(t)) satisfaz \dfrac{dE}{dt}=0, logo E(t) é constante no tempo (energia mecânica conservada).

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