Exercício bônus
Demonstre que a energia mecânica é conservada (Utilize ferramentas e linguagem compreendidas na matemática).
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar que a energia mecânica é conservada, isto é, provar que a soma da energia cinética e da energia potencial permanece constante no tempo ao longo do movimento de uma partícula sob uma força apropriada.
Informações/hipóteses que vamos usar (todas necessárias para a demonstração):
- Temos uma partícula de massa
que se move numa trajetória . - A velocidade é
e a aceleração é . - A energia cinética é definida por
. - Existe uma função potencial
(função suave de posição) tal que a força é dada por
- A partícula obedece à segunda lei de Newton:
Pergunta concreta a responder: provar, a partir das definições e das hipóteses acima, que a energia mecânica
é constante no tempo, isto é,
para todo
.
Passo 2
Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas de forma didática):
- Produto escalar e norma quadrada.
- Para um vetor
temos . - Derivada de
: usando a regra do produto para vetores,
Isto vem do ideia simples: trate
como
e aplique a regra da derivada (somatório implícito).
- Gradiente e regra da cadeia para funções de posição.
-
é o vetor das derivadas parciais de . Ele mede como muda quando a posição muda. - Regra da cadeia: se
depende de e depende de , então
Isto é parecido com a regra da cadeia escalar, mas para funções multivariáveis: a variação temporal de
ao longo da trajetória é o gradiente “projetado” na velocidade.
- Segunda lei de Newton que relaciona força e aceleração:
Sob a hipótese de força conservativa, temos
.
Passo 3
Calcular a derivada temporal da energia cinética
.
Aplicando a derivada e a identidade do produto escalar do Passo 2:
Expliquei cada passo: tirei a constante
para fora, usei
, e simplifiquei.
Passo 4
Substituir a aceleração usando a segunda lei de Newton.
Pela lei de Newton
. Portanto,
Esta expressão tem interpretação física: a potência instantânea da força (força projetada na velocidade) é a taxa de variação da energia cinética.
Passo 5
Usar a hipótese de força conservativa
para ligar
e
.
Substituindo em
temos
Pelo passo 2 (regra da cadeia aplicada a
),
Logo combinando,
Expliquei: a variação da energia cinética é exatamente o negativo da variação da energia potencial, porque a potência da força conservativa remove energia de uma e coloca na outra.
Passo 6
Concluir que a energia mecânica é conservada.
Somando as derivadas obtidas:
Portanto a derivada temporal da energia mecânica
é zero em todo instante
. Assim
é constante ao longo do movimento.
Em termos integrados: existe uma constante
tal que, para todo
,
Passo 7
Comentário didático e exemplo simples para fixar a ideia (jeito prático de aplicar na prova).
Exemplo 1D (muito intuitivo): massa
sobre o eixo vertical
com potencial gravitacional
(contando
para cima). Então
e a força é
. A segunda lei dá
. Calcule
pois
. Logo
constante — é exatamente o resultado geral aplicado ao caso concreto.
Observação rápida sobre hipóteses: a propriedade de conservação que provamos exige que a força seja conservativa (isto é, exista
tal que
) e que
seja constante. Se houver forças não conservativas (ex.: atrito), o termo
não será igual a
e a energia mecânica não será conservada — parte da energia é dissipada.
Resposta
A energia mecânica
satisfaz
, logo
é constante no tempo (energia mecânica conservada).