Exercício 16. Resolva, em \mathbb{R}, as seguintes equações:
|2 x-6|=11

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a equação
|2x-6| = 11.
Informações dadas: a expressão dentro do valor absoluto é 2x-6 e o lado direito é o número \,11. O objetivo é encontrar todos os valores reais de x que tornam verdadeira essa igualdade.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto (uma mini-aula): para qualquer número real y\), \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y \ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y < 0. \end{cases}
Exemplos rápidos: |3|=3\], \(|-4|=4, |0|=0. Uma consequência prática para equações do tipo |A| = B com B\ge 0 é que isso equivale ao sistema
A = B \quad\text{ou}\quad A = -B.
Se B<0, não há solução porque valor absoluto nunca é negativo. No nosso caso B=11\ge 0, então podemos usar essa regra.]

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso problema, tomamos A = 2x-6 e B = 11. Assim devemos resolver as duas equações lineares:
2x-6 = 11
ou
2x-6 = -11.

Passo 4

Resolvendo a primeira equação 2x-6 = 11:
somamos 6 em ambos os lados para isolar o termo com x:
2x = 11 + 6 = 17.
Agora dividimos por 2:
x = \frac{17}{2}.
Expliquei cada operação: somar 6 para cancelar o -6 e dividir por 2 para cancelar o coeficiente 2.

Passo 5

Resolvendo a segunda equação 2x-6 = -11:
somamos 6 em ambos os lados:
2x = -11 + 6 = -5.
Dividindo por 2:
x = -\frac{5}{2}.

Passo 6

Cheque rápido (sempre bom checar na prova): substituir as soluções na equação original.
Para x=\frac{17}{2}:
2x-6 = 2\cdot\frac{17}{2}-6 = 17-6 = 11,\qquad |11|=11.
Para x=-\frac{5}{2}:
2x-6 = 2\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)-6 = -5-6 = -11,\qquad |-11|=11.
Ambas satisfazem a equação, portanto são válidas.

Passo 7

Conclusão final: a equação tem duas soluções reais, que já conferimos e que você pode apresentar sem calculadora.

Resposta

x=\dfrac{17}{2}
x=-\dfrac{5}{2}

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