Exercício 16. (ELJ 72) Sejam f: R^m R^n, g1, ldots, gn: R^n R tais que
  1. f é contínua.
  2. gj circ f: R^m R são de classe C^1.
  3. Os vetores nabla g1(f(x)), ldots, nabla gm(f(x)) são linearmente independentes para todo x in R^m.
Mostre que, nestas condições, a função f é de classe C^1.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação f:R^mtoR^n contínua e funções gj:R^ntoR (assumimos C^1 em R^n) tais que cada composição
gjcirc f:R^mtoR
é de classe C^1, e os vetores
nabla g1(f(x)),dots,nabla gm(f(x))
são linearmente independentes em R^n. Queremos mostrar que f é de classe C^1.
Conteúdo: Teorema da aplicação de posto constante (caso imersão) e o fato de que uma imersão localmente bijetiva é difeomorfismo na imagem.

Passo 2

Defina a aplicação
G:R^ntoR^n, G(y)=l(g1(y),,g2(y),dots,gn(y)r)
Como cada gj é C^1, G é C^1. Seu Jacobiano em y=f(x) é a matriz
DG(f(x))= nabla g1(f(x))^T nabla g2(f(x))^T vdots nabla gn(f(x))^T ,
e por hipótese as primeiras m linhas (ou seja, os vetores nabla g1,dots,nabla gm) são linearmente independentes. Logo rank,DG(f(x))=m.

Passo 3

O teorema do posto constante (ou imersão) garante que, em torno de f(x), existe um entorno aberto UsubsetR^n e um entorno aberto Vsubset G(U)subsetR^n tal que
Gcolon U;longrightarrow;V
é um difeomorfismo de classe C^1 entre U e a subvariedade V (que tem dimensão m). Em particular, G é invertível de classe C^1 de U sobre V.

Passo 4

Como f é contínua e f(x)in U, ao restringir
gcirc f = Gl(f(cdot)r)
a um entorno de x em R^m temos uma aplicação de classe C^1
Gcirc f:; f^-1(U);longrightarrow;V

Passo 5

Finalmente, em f^-1(U) podemos escrever
f ;=; G^-1,circl(Gcirc fr)
Aqui Gcirc f é C^1 por hipótese e G^-1:Vto U é C^1 por ser inversa de um difeomorfismo local. Logo f é composta de aplicações C^1, o que mostra que f é C^1 em x.
Como x foi arbitrário, concluímos que f é de classe C^1 em toda R^m.

Resposta

f é de classe C^1.

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