Os vetores são linearmente independentes para todo .
Mostre que, nestas condições, a função é de classe .
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação contínua e funções (assumimos em ) tais que cada composição
é de classe , e os vetores
são linearmente independentes em . Queremos mostrar que é de classe .
Conteúdo: Teorema da aplicação de posto constante (caso imersão) e o fato de que uma imersão localmente bijetiva é difeomorfismo na imagem.
Passo 2
Defina a aplicação
Como cada é , é . Seu Jacobiano em é a matriz
e por hipótese as primeiras m linhas (ou seja, os vetores nabla g1,dots,nabla gm) são linearmente independentes. Logo rank,DG(f(x))=m.
Passo 3
O teorema do posto constante (ou imersão) garante que, em torno de f(x), existe um entorno aberto UsubsetR^n e um entorno aberto Vsubset G(U)subsetR^n tal que
Gcolon U;longrightarrow;V
é um difeomorfismo de classe C^1 entre U e a subvariedade V (que tem dimensão m). Em particular, G é invertível de classe C^1 de U sobre V.
Passo 4
Como f é contínua e f(x)in U, ao restringir
gcirc f = Gl(f(cdot)r)
a um entorno de x em R^m temos uma aplicação de classe C^1
Gcirc f:; f^-1(U);longrightarrow;V
Passo 5
Finalmente, em f^-1(U) podemos escrever
f ;=; G^-1,circl(Gcirc fr)
Aqui Gcirc f é C^1 por hipótese e G^-1:Vto U é C^1 por ser inversa de um difeomorfismo local. Logo f é composta de aplicações C^1, o que mostra que f é C^1 em x.
Como x foi arbitrário, concluímos que f é de classe C^1 em toda R^m.