Exercício 15 - Encontrar as constantes k e b tais que
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(k x+b-\frac{x^{3}+1}{x^{2}+1}\right)=0 .

Passo 1

O enunciado pede para determinar as constantes \,k e \,b tais que
\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(kx+b-\frac{x^{3}+1}{x^{2}+1}\right)=0.
Informações dadas:
  • A expressão a analisar é kx+b-\dfrac{x^{3}+1}{x^{2}+1}.
  • A variável x tende para +\infty.
  • É necessário escolher k e b (constantes reais) de modo que o limite seja zero.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a fração racional \dfrac{x^{3}+1}{x^{2}+1} por divisão de polinômios para expor o comportamento dominante quando x\to+\infty.
Fazendo a divisão de x^{3}+1 por x^{2}+1:
  • O primeiro quociente é \,x, porque \dfrac{x^{3}}{x^{2}}=x.
  • Multiplicando o divisor: x\cdot(x^{2}+1)=x^{3}+x.
  • Subtraindo do numerador: (x^{3}+0x^{2}+0x+1)-(x^{3}+0x^{2}+x)= -x+1, que é o resto (grau menor que 2).
Portanto
\frac{x^{3}+1}{x^{2}+1}=x+\frac{-x+1}{x^{2}+1}=x+\frac{1-x}{x^{2}+1}.

Passo 3

Substituindo essa decomposição na expressão do limite, obtemos
kx+b-\frac{x^{3}+1}{x^{2}+1} = kx+b-\left(x+\frac{1-x}{x^{2}+1}\right).
Agrupando termos,
kx+b-\frac{x^{3}+1}{x^{2}+1}=(k-1)x+b-\frac{1-x}{x^{2}+1}.

Passo 4

Vamos estudar o comportamento, quando x\to+\infty, de cada termo:
  • O termo (k-1)x cresce (em módulo) proporcionalmente a x se k\neq1. Logo se k\neq1 a expressão tende para +\infty ou -\infty e não pode ser 0.
  • O termo \dfrac{1-x}{x^{2}+1} é um resto que tende a 0 quando x\to+\infty. Para ver isso rigorosamente, note que para x\ge1
\left|\frac{1-x}{x^{2}+1}\right|=\frac{x-1}{x^{2}+1}\le\frac{x+1}{x^{2}+1}\le\frac{x+1}{x^{2}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\xrightarrow[x\to+\infty]{}0.
Portanto \dfrac{1-x}{x^{2}+1}\to0.

Passo 5

Pela análise anterior, para que o limite total seja 0 é necessário que a parte que cresce linearmente em x desapareça. Assim devemos escolher
k-1=0\quad\Rightarrow\quad k=1.
Se k não fosse 1 o termo (k-1)x impediria o limite ser finito, quanto mais igual a 0.

Passo 6

Com k=1 a expressão do Passo 3 fica
(1-1)x+b-\frac{1-x}{x^{2}+1}=b-\frac{1-x}{x^{2}+1}.
Tomando o limite x\to+\infty e usando que \dfrac{1-x}{x^{2}+1}\to0, obtemos
\lim_{x\to+\infty}\left(b-\frac{1-x}{x^{2}+1}\right)=b-0=b.
Para que esse limite seja 0 precisamos de
b=0.

Passo 7

Verificação final rápida: com k=1 e b=0,
1\cdot x+0-\frac{x^{3}+1}{x^{2}+1}=x-\left(x+\frac{1-x}{x^{2}+1}\right)=-\frac{1-x}{x^{2}+1},
e já vimos que -\dfrac{1-x}{x^{2}+1}\to0 quando x\to+\infty. Logo a escolha está correta.

Resposta

k=1
b=0

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