Exercício 0.16 Seja
um subconjunto não vazio e limitado de
. Dado a
considere os conjuntos
e
(i) Mostre que aS e a
são não vazios e limitados.
(ii) Se
mostre que
.
(iii) Se
mostre que
.
(i) Mostre que aS e a
(ii) Se
(iii) Se
Passo 1
O enunciado nos dá um conjunto não vazio e limitado
. Definimos
O que precisamos usar é a definição de conjunto limitado (existe cotas finitas) e as propriedades de supremo, ínfimo e preservação ou inversão de ordem ao multiplicar por uma constante real.
Passo 2
Mostramos que
é não vazio e limitado.
Como , existe
. Então
, logo
.
Como é limitado, existe
tal que
para todo
. Daí
Como
Como
então todos os elementos de
ficam em
. Logo
é limitado.
Passo 3
Mostramos que
é não vazio e limitado.
Como , para
temos
, logo
.
Como é limitado, existem
e
tais que
Como
Como
Somando
em todas as desigualdades,
mostrando que
, portanto é limitado.
Passo 4
Suponha
. Queremos
e
.
Como , a multiplicação preserva ordem: para todo
temos
Como
portanto
é cota superior de
.
Para ver que é a menor cota, seja . Pela definição de supremo existe
tal que
Para ver que é a menor cota, seja
Multiplicando por
obtemos
logo qualquer número menor que
não é cota. Assim
.
Analogamente, para todo
temos
logo
é cota inferior de
. E pelo mesmo argumento
.
Passo 5
Suponha
. Agora a multiplicação inverte a ordem: se
então
.
Para todo ,
Para todo
logo
é cota superior de
. Pelo mesmo argumento de aproximação com
conclui-se
.
De modo parecido,
então
é cota inferior de
e, pelo argumento de aproximação,
.
Resposta
(i) Tanto
quanto
são não vazios e limitados.
(ii) Se então
e
.
(iii) Se então
e
.
(ii) Se
(iii) Se