Exercício 1.4.16. Distribuí 9 livros diferentes para 9 crianças. Um mês depois, recolhi os livros e, novamente, distribuí um livro para cada criança. a) De quantas maneiras podem os livros ser distribuídos de modo que nenhuma criança receba o mesmo livro duas vezes?
b) De quantas maneiras podem os livros ser distribuídos de modo que somente 3 crianças quaisquer recebam o mesmo livro duas vezes?
b) De quantas maneiras podem os livros ser distribuídos de modo que somente 3 crianças quaisquer recebam o mesmo livro duas vezes?
Passo 1
O enunciado dá uma primeira distribuição de 9 livros distintos a 9 crianças e, depois de um mês, uma segunda distribuição. Cada distribuição é uma permutação de 9 objetos.
Conteúdo: permutações e desarranjos (permutations sem pontos fixos).
Conteúdo: permutações e desarranjos (permutations sem pontos fixos).
Passo 2
Para a parte (a) precisamos contar quantas permutações de 9 elementos não têm ponto fixo, ou seja, nenhuma criança recebe o mesmo livro. Essas permutações são chamadas de desarranjos de 9 objetos, denotados por
.
A fórmula geral para o número de desarranjos de objetos é
A fórmula geral para o número de desarranjos de
Aplicando
, temos
Passo 3
Para a parte (b) queremos exatamente 3 crianças que recebem o mesmo livro (3 pontos fixos) e as outras 6 crianças sem ponto fixo.
Escolhemos quais 3 crianças mantêm o mesmo livro em maneiras. Para as 6 restantes, precisamos de um desarranjo de 6 objetos, ou seja,
. Usando a fórmula ou valor conhecido:
Escolhemos quais 3 crianças mantêm o mesmo livro em
Multiplicando:
Resposta
a)
b)
b)