Exercício 1.4.16. Distribuí 9 livros diferentes para 9 crianças. Um mês depois, recolhi os livros e, novamente, distribuí um livro para cada criança. a) De quantas maneiras podem os livros ser distribuídos de modo que nenhuma criança receba o mesmo livro duas vezes?
b) De quantas maneiras podem os livros ser distribuídos de modo que somente 3 crianças quaisquer recebam o mesmo livro duas vezes?

Passo 1

O enunciado dá uma primeira distribuição de 9 livros distintos a 9 crianças e, depois de um mês, uma segunda distribuição. Cada distribuição é uma permutação de 9 objetos.
Conteúdo: permutações e desarranjos (permutations sem pontos fixos).

Passo 2

Para a parte (a) precisamos contar quantas permutações de 9 elementos não têm ponto fixo, ou seja, nenhuma criança recebe o mesmo livro. Essas permutações são chamadas de desarranjos de 9 objetos, denotados por !9.
A fórmula geral para o número de desarranjos de n objetos é
!n = n! sumk=0^n (-1)^kk!
Aplicando n=9, temos
!9 = 9! sumk=0^9 (-1)^kk! = 362880l(1 - 1 + tfrac12 - tfrac16 + tfrac124 - tfrac1120 + tfrac1720 - tfrac15040 + tfrac140320 - tfrac1362880r) = 133496

Passo 3

Para a parte (b) queremos exatamente 3 crianças que recebem o mesmo livro (3 pontos fixos) e as outras 6 crianças sem ponto fixo.
Escolhemos quais 3 crianças mantêm o mesmo livro em binom93 maneiras. Para as 6 restantes, precisamos de um desarranjo de 6 objetos, ou seja, !6. Usando a fórmula ou valor conhecido:
!6 = 6! sumk=0^6 (-1)^kk! = 265
Multiplicando:
binom93times !6 = 84 times 265 = 22260

Resposta

a) 133496
b) 22260

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