Exercício 15 : Esboce os gráficos e identifique crescimento/decaimento:
g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado dá a função exponencial
g(x)=\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^{x}
e pede para esboçar seu gráfico e dizer se ela é de crescimento ou de decaimento. Vamos usar as propriedades gerais de funções da forma b^{x}:
  1. Domínio em todo \mathbb{R}.
  2. Se a base b satisfaz 0<b<1, a função é decrescente.
  3. Passa por (0,1) e tem assíntota horizontal em y=0.

Passo 2

Determinar domínio, imagem e pontos-chave:
  • Domínio: todo x\in\mathbb{R}.
  • Imagem: g(x)>0 para todo x, ou seja, (0,\infty).
  • Pontos notáveis: g(0)=\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^{0}=1,\quad g(1)=\tfrac{1}{3},\quad g(-1)=3.

Passo 3

Analisar comportamento assintótico e monotonia:
  • Como \tfrac{1}{3}<1, a função é estritamente decrescente.
  • Para x\to+\infty, \lim_{x\to+\infty}g(x)=0,logo há assíntota horizontal y=0.
  • Para x\to-\infty, \lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty.

Passo 4

Esboço do gráfico (em linhas gerais):
  • No eixo x, marque x=-1,0,1.
  • No eixo y, marque y=1/3,1,3.
  • Trace uma curva que passa por (-1,3), (0,1), (1,1/3), decrescendo suavemente e aproximando-se de y=0 à direita, subindo sem limite à esquerda.

Resposta

A função g(x)=\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{x} é uma exponencial de decaimento (decrescente) com assíntota horizontal em y=0.

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