Exercício 15 (F.2.1 Exs.)
Calcule a série de Fourier das seguintes funções f:]-pi, pi[ C :
f(theta)=pi-theta.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier complexa de fcolon(-pi,pi)toC dada por
f(theta)=pi-theta
O conteúdo que vamos usar é a definição dos coeficientes da série de Fourier complexa:
cn = 12piintegral-pi^pif(theta),e^-intheta,dtheta,
de modo que
f(theta)=sumn=-infty^inftycn,e^intheta

Passo 2

Primeiro calculamos o coeficiente de ordem zero c0. Usando
c0 = 12piintegral-pi^pi(pi-theta),dtheta
temos
integral-pi^pi(pi-theta),dtheta =picdot2pi-integral-pi^pitheta,dtheta =2pi^2-0 =2pi^2,
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c0=12pi,2pi^2=pi

Passo 3

Agora para nneq0 usamos
cn = 12piintegral-pi^pi(pi-theta)e^-intheta,dtheta =pi2piintegral-pi^pie^-intheta,dtheta -12piintegral-pi^pitheta,e^-intheta,dtheta
A primeira integral é nula porque
integral-pi^pie^-intheta,dtheta =e^-intheta-in|-pi^pi =(-1)^n-(-1)^n-in=0
Para a segunda integral fazemos integração por partes:
I=integral-pi^pitheta,e^-intheta,dtheta =l[thetae^-intheta-inr]-pi^pi -integral-pi^pie^-intheta-in,dtheta
O segundo termo também se anula pelo mesmo raciocínio acima, e o primeiro termo é
pi e^-inpi-(-pi)e^inpi-in =pi(-1)^n+pi(-1)^n-in =2pi(-1)^n-in =2pi(-1)^n-i n
Assim
I=2pi(-1)^n-i n Longrightarrow cn =-12pi,I =-12pi,2pi(-1)^n-i n =(-1)^ni n =i(-1)^nn

Passo 4

Reunindo tudo, a série de Fourier complexa de fica

Resposta

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