Exercício 15. (Guidorizzi seção 7.2 exercício 2) Mostre que existem e para os quais o campo abaixo é conservativo

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r) =l(3x^m+1y^n+1,,2x^m+2y^nr)
e pede para mostrar que existem expoentes m e n para os quais F é conservativo. O conteúdo é verificar a condição partial P/partial y=partial Q/partial x em um domínio simplesmente conexo onde o campo seja C^1.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais mistas de P e Q:
partial Ppartial y =3x^m+1,(n+1),y^n =3(n+1),x^m+1y^n,
partial Qpartial x =2,(m+2),x^m+1y^n =2(m+2),x^m+1y^n

Passo 3

Impor a condição de conservatividade partial P/partial y=partial Q/partial x e eliminar o fator comum x^m+1y^n:
3(n+1)=2(m+2)

Passo 4

Resolver a equação em m e n:
3n+3=2m+4 ;Longrightarrow; 2m=3n-1 ;Longrightarrow; m=3n-12
Para que m seja inteiro basta escolher n ímpar. Por exemplo, se n=1 então
m=3cdot1-12=1,
e o campo
l(3x^2y^2,,2x^3yr)
é conservativo.

Resposta

O campo é conservativo se, e somente se,
m=3n-12
Em particular, para n ímpar (por exemplo n=1) obtemos um m inteiro (por exemplo m=1).

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