Exercício 15. (Guidorizzi seção 7.2 exercício 2) Mostre que existem
e
para os quais o campo abaixo é conservativo
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para mostrar que existem expoentes
e
para os quais
é conservativo. O conteúdo é verificar a condição
em um domínio simplesmente conexo onde o campo seja
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais mistas de
e
:
Passo 3
Impor a condição de conservatividade
e eliminar o fator comum
:
Passo 4
Resolver a equação em
e
:
Para que
seja inteiro basta escolher
ímpar. Por exemplo, se
então
e o campo
é conservativo.
Resposta
O campo é conservativo se, e somente se,
Em particular, para
ímpar (por exemplo
) obtemos um
inteiro (por exemplo
).