Problema 50 Resolva as equações nos reais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver nos reais a equação
O conteúdo envolvido é teoria de raízes de polinômios: vamos usar o Teorema das Raízes Racionais para achar raízes racionais e depois aplicar divisão sintética para reduzir o grau do polinômio até obter equações de grau inferior.
Passo 2
Pelo Teorema das Raízes Racionais, toda raiz racional tem a forma
, onde
divide o termo independente
e
divide o coeficiente líder
. Assim, as candidatas são
Vamos testar essas raízes no polinômio.
Passo 3
Testando
em
:
Logo,
é raiz e
é fator. Dividindo sinteticamente
por
obtemos o quociente
Passo 4
Agora resolvemos a cúbica
Testando
:
logo
é raiz e
é fator. Dividindo sinteticamente a cúbica por
resulta em
Passo 5
Resolvendo a equação de segundo grau
pela fórmula de Bhaskara, temos
Como
, essa equação não tem raízes reais.
Resposta
As soluções reais da equação são