Problema 50 Resolva as equações nos reais:
x^4-5 x^2-10 x-6=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver nos reais a equação
x^4 - 5x^2 - 10x - 6 = 0
O conteúdo envolvido é teoria de raízes de polinômios: vamos usar o Teorema das Raízes Racionais para achar raízes racionais e depois aplicar divisão sintética para reduzir o grau do polinômio até obter equações de grau inferior.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, toda raiz racional tem a forma pm p/q, onde p divide o termo independente -6 e q divide o coeficiente líder 1. Assim, as candidatas são
pm1,;pm2,;pm3,;pm6
Vamos testar essas raízes no polinômio.

Passo 3

Testando x=3 em x^4 - 5x^2 - 10x - 6:
3^4 - 5cdot3^2 - 10cdot3 - 6 = 81 - 45 - 30 - 6 = 0
Logo, x=3 é raiz e x-3 é fator. Dividindo sinteticamente
x^4 + 0x^3 - 5x^2 - 10x - 6
por x - 3 obtemos o quociente
x^3 + 3x^2 + 4x + 2

Passo 4

Agora resolvemos a cúbica
x^3 + 3x^2 + 4x + 2 = 0
Testando x=-1:
(-1)^3 + 3(-1)^2 + 4(-1) + 2 = -1 + 3 - 4 + 2 = 0,
logo x = -1 é raiz e x + 1 é fator. Dividindo sinteticamente a cúbica por x + 1 resulta em
x^2 + 2x + 2

Passo 5

Resolvendo a equação de segundo grau
x^2 + 2x + 2 = 0
pela fórmula de Bhaskara, temos
De<a = 2^2 - 4cdot1cdot2 = 4 - 8 = -4 < 0
Como De<a<0, essa equação não tem raízes reais.

Resposta

As soluções reais da equação são
x = 3, x = -1

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